Лекции учебной дисциплины "Алгебра и геометрия"

1 -Л 2 0 IA-ЛЦ = 0 2 - Л 0 - 2 - 2 - 1 -Л Л = 2, Л 2 = 1, Л3 = - 1 . 5. Находим собственные векторы: = (Л- 2 )(1 - Л 2 ) = 0 . Решая уравнение, получим: а) Л = 2; ( A - 2E)X-- 1 0 2 0 V •2 - 2 0 - 3 п W n 3 ) V 0 ) Это соотношение соответствует системе уравнений: | - п + 2п 2 = 0 1 - 2Xj - 2п 2 - 3x3 = 0 ' 0 0 0 решение которой: X = 2, п 2 = 1, п 3 = -2. Следовательно, собственный вектор b = (2,1,-2) T b) Л = 1; (A - E)X-- 0 0 2 1 v •2 - 2 0 - 2 n 2 JV n 3 ) v 0 ) Это соотношение соответствует системе уравнений: 0 0 0 I n 2 = 0 I - 2Xj - 2n 2 - 2n 3 0 решение которой: Xj = 1, n 2 = 0, n 3 = -1. Следовательно, собственный вектор b 2 = (1,0,-1) T c) Л = -1; ( A + E)X •• 0 2 2 0 3 0 - 2 0 n J JV n 3 J V 0 J Это соотношение соответствует системе уравнений: 0 0 0 Xj + n 2 = 0 3n 2 = 0 решение которой: собственный вектор b 3 = (0,0,1) T Xj = 0, x 2 = 0, x 3 = 1. Следовательно, Векторы bj, b 2 , b 3 - образуют базис (есть теорема о том, что собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, являются линейно- независимыми). В этом базисе линейное преобразование задается диагональной матрицей: B = 2 0 0 1 0 0 v 0 0 - Ъ 0 0 2 3