Лекции учебной дисциплины "Алгебра и геометрия"

2. Растяжение плоскости, при котором все векторы, выходящие из начала координат, растягиваются в 5 раз - это линейное преобразование, причем все ненулевые векторы плоскости будут для него собственными. Все они относятся к собственному значению Л 0 = 5 . Теорема 18.3. Действительные характеристические корни линейного преобразования j , если существуют и только они служат собственными значениями этого преобразования. Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду. Рассмотрим линейное преобразование j : ej = Ae с матрицей A. Теорема 18.4. Линейное преобразование j в базисе e l , e 2 ...e n задается диагональной матрицей тогда и только тогда, когда все векторы этого базиса являются собственными векторами преобразования j . Теорема 18.5. Любая матрица, характеристические корни которой действительны и различны, приводится к диагональному виду. Замечание. Если корни кратные, то может и не привестись. Методика. 1. Находятся корни характеристического многочлена матрицы A nnn : |A -ЛЦ = 0. 2. Для каждого корня Л решается система ( A -ЛЕ )X = 0, где матрицы соответственно имеют размерность: A nxn , E nnn , X nx1 . Теоретически доказано, что эта система эквивалентна равенству nj = Лп, что означает, что n - собственный вектор, соответствующий собственному числу Л . В результате решения для каждого значения Л , полученного в пункте 1, получаем соответствующий собственный вектор. В базисе из полученных линейно-независимых собственных векторов матрица Л ... 0 ^ 3. преобразований имеет вид: 0 Л n J Пример. Привести матрицу A линейного преобразования ' 1 2 0 Л диагональному виду и найти соответствующий базис, если A 4. Характеристическое уравнение: 0 2 - 2 - 2 0 1 2