Лекции учебной дисциплины "Алгебра и геометрия"

Лекция № 10 Связь между матрицами линейного преобразования в разных базисах Матрицы B и C называются подобными, если они связаны соотношением C = Q~ l BQ , где Q - невырожденная матрица. При этом говорят, что матрица C получена трансформированием из B матрицей Q. Теорема 18.1. Матрицы, задающие одно и то же линейное преобразование в разных базисах, подобны между собой. При этом матрица линейного преобразования j в базисе e получается трансформированием матрицы этого линейного преобразования в базисе e матрицей перехода от e к e. То есть ej= Ae, ej = Ae, e = Te и A = ( T -1 ) -1 A ( T ~ 1 ) или A = TAT -1 , где T -1 : e = T~ l e - матрица перехода от e к e. Характеристические корни и собственные значения Пусть задана матрица A = (a y ) , а 1 - некоторое неизвестное значение, тогда A -1E- a 11 - 1 a 1 a v a * i 12 a 2 2 - 1 . . .. a " 1л 2n a nn - 1 J - называется характеристической матрицей для матрицы A, а | A - l E - характеристический многочлен матрицы A n -ой степени. Решение |A -lE = 0 определяет корни, которые называются корнями характеристической матрицы. Теорема 18.2. Подобные матрицы обладают одинаковыми характеристическими многочленами и, следовательно, одинаковыми характеристическими корнями. Линейное преобразование j в разных базисах задается разными матрицами, однако согласно теореме 18.1 матрицы подобны, а, следовательно, имеют одинаковые характеристические корни. Эти корни называются характеристическими корнями линейного преобразования j или спектром j . Если bФ 0 и bj = 1 0 b, где 1 0 - некоторое число, то b называют собственным вектором преобразования j , а число l 0 - собственное значение этого преобразования. Причем говорят, что собственный вектор b относится к собственному значению l 0 . Пример. 1. Вращение плоскости вокруг начала координат на угол, не являющимся кратным p , является линейным преобразованием j , не имеющим собственных векторов. 1