Лекции учебной дисциплины "Алгебра и геометрия"

система называется базисом или базой пространства. Число векторов базиса определяет размерность пространства. Пусть V n имеет базис е 1 , e 2 ,....e n . Тогда любой вектор aе V n можно представить в виде a = a 1 e l +a 2 e 2 + ....a n e n . Это следует из определения линейной независимости векторов е 1 ,e 2 ,....e n . Здесь a 1 ,a 2 ...a n называются координатами вектора в базисе е 1 , e 2 ,....e n . Связь между базисами n -мерного пространства V n . Пусть в n -мерном векторном пространстве V n заданы базисы: ^ e 2 , . . - e n ( 1 7 1 ) ^ e 2 , . . . . e n ( 1 7 2 ) Каждый вектор базиса (17.2), как всякий вектор пространства V, однозначно n записывается через базис (17.1): е = ^ t 1 J e J . J=1 Матрица Т- \Jn1 называется матрицей перехода от (17.11) к (17.2) и "nn У справедливо следующее равенство: или е = Те. f ' \ V n у V n1 / Л е (17.3) nn n Теорема 17.1. Матрица перехода от одного базиса к другому является невырожденной матрицей. Доказательство: е = Те . Тогда с одной стороны: е = ТТе ^ ТТ = E ^ Т = Т~ 1 . С другой стороны: е = ТТе ^ ТТ = E ^ Т = Т~\ Теорема 17.2. Всякая невырожденная квадратная матрица порядка n с действительными элементами служит матрицей перехода от заданного базиса n -мерного действительного линейного пространства к некоторому другому базису. Доказательство. Пусть заданы базис е 1 ,е 2 ,....е а и Т шп - невырожденная матрица. Рассмотрим систему векторов е 1 ,е 2 ,....е п : е= Те. Покажем, что е 1 ,ё 2 ,....ё п линейно-независимы. Докажем от противного. Пусть е 1 , е 2 ,....е п - линейно- зависимы. Тогда строки матрицы Т линейно-зависимы, что противоречит тому, что матрица Т -невырожденная. Следовательно е 1 , е 2 ,....е п - базис, а T nxn - матрица перехода. Таким образом в n -мерном действительном линейном пространстве можно найти столько же базисов, сколько существует различных невырожденных матриц порядка nxn. При этом два базиса, состоящие из 11 1n 11 n 2