Лекции учебной дисциплины "Алгебра и геометрия"

Лекция № 17 Векторное (линейное) пространство Пусть дано V = {a , b, c....}. В множестве определены операции: 1. сложения, ставящей "a, be V элемент a + be V , называемой суммой. 2. умножение на действительное число, причем произведение aa элемента a на число а однозначно определено и принадлежит множеству V . Элементы множества V будут называться векторами, а V - действительным линейным (аффинным или векторным) пространством, если операции обладают следующими свойствами: 1. a + b = b+ a 2. (a + b)+ c = a + (b + c) 3. 30 e V : "a e V :0 + a = a 4. "a e V 3 - a e V : ( - a ) + a = 0. 5. a(a + b) = aa + ab для "a, b e V и любого действительного числа a . 6. (a + b)a = aa + ba для "a, be V и любых действительных чисел a,b . 7. (ab)a = a(fia) 8. 1a = a Из этих аксиом легко доказать справедливость следующих свойств: 1. а0 = 0 2. 0 a =0 3. Если aa = 0, то а = 0 или a = 0 4. a(- a) = -aa 5. ( - a)a = -aa 6. a(a - b) = aa -ab 7. (a-b)a = aa-pa Примеры. 1. Множество всех геометрических векторов на плоскости - линейное пространство 2. Множество Л пжп всех матриц размера mxn - линейное пространство. 3. Множество векторов V коллинеарных фиксированной прямой - линейное пространство. 4. Множество векторов V 2 , исходящих из начала координат, концы которых лежат на фиксированной прямой, не является линейным пространством, если прямая не проходит через начало координат. Линейное пространство называется конечномерным, если в нем можно найти конечную максимально-независимую систему векторов. Любая такая 1