Лекции учебной дисциплины "Алгебра и геометрия"

Лекция № 10 Бинарные операции в множествах Пусть A = {a , b, с...} - конечное или бесконечное. Бинарной операцией называется отображение j : A ® A множества A в себя, которое каждой упорядоченной паре (a, b) из A ставит в соответствие третий элемент из того же множества A (образ пары элементов). Например. Бинарная операция - сложение: "a, bе A « a + bе A ; умножение - "a, b e A « ab e A. Говорят, что бинарная операция обладает свойством: 1. коммутативности, если a + b = b + a для операции сложения и ab = ba для операции умножения; 2. ассоциативности, если (a + b)+ c = a + (b + c) для операции сложения и (ab)c = a(bc ) для операции умножения. Элемент e е A: ea = ae = a называется единичным элементом A относительно выбранной операции. Когда бинарная операция сложение, то единичный элемент обозначается 0 и называется нулевым элементом a + 0 = 0 + a. Изоморфизм множеств Даны два множества A и A . В каждом можестве определена бинарная операция. Множества A и A называются изоморфными, если существуют взаимнооднозначное отображение j : A ® A , сохраняющее бинарную операцию, то есть "a, bе A 3a',b e A : a',b' образ ab . Пример изоморфизма множеств. A - четные числа, A - числа, кратные 5. В этих множествах введены операции сложения соответственно: сумма двух четных чисел есть четное число, сумма двух чисел, кратных 5, равно числу, кратному 5. Введем отображение: каждому четному числу 2n поставим в соответствие число, кратное 5 - 5n. Изоморфные множества с бинарными операциями могут отличаться как природой своих элементов, так и называнием бинарной операции. Пример. R - действительные числа, R+ - положительные действительные числа. Введем отображение f : aе R+® ln aе R . Известно: ln(ab) = ln a + ln b , где a, bе R+ . Следовательно, множество положительных действительных чисел с операцией умножения изоморфно множеству всех действительных чисел с операцией сложения. Таким образом, изоморфные множества неразличимы с точки зрения свойств операции: все, что можно доказать для одного множества с некоторой бинарной операцией, переносится на все изоморфные множества. 16