Лекции учебной дисциплины "Алгебра и геометрия"

Определитель матрицы не меняется при ее транспонировании: 1 4 =A . Это вытекает из теорем 2.1 и 2.2. 2. Свойство асимметричности при перестановке строк и столбцов. Если в определителе поменять местам две строки (два столбца), то по абсолютной величине определитель не меняется, но меняется знак на противоположный. Доказательство: по индукции. Для определителя второго порядка свойство очевидно, так как: ^ l l а 12 ^ 2 1 ^ 2 2 = a n a 2 2 — a 21 a 12 . Поменяем строки местами, тогда ^ 2 1 ^ 2 2 a 11 a 12 ^ 2 1 ^ 1 2 a 1 1 a 2 2 . Предположим, что свойство справедливо для определителя n-1 -го порядка. Докажем, что свойство справедливо для определителя n-го порядка. Для этого разложим определитель n h+ j t по i 1 строке, а строки i 2 и i 3 переставим местами: А = ^ (— 1) a. .Mj . В этой формуле j=1 Mj является определителем n-1 -го порядка, а по индукции он меняет знак на противоположный. Следовательно, и все выражение, стоящее в правой части, поменяет знак на противоположный. Говорят, что строка a 1 ,a 2 ,...a n есть линейная комбинация строк b 1 ,b 2 ,...b n и q, c 2 ,...c n с сомножителями 1 и j , если a i = lb + jc i , " i = 1.n. (2.6) 3. Линейное свойство определителя. Если некоторая i -ая строка определителя a i1 , a 2 2 ,... a in есть линейная комбинация двух строк b 1 ,b 2 ,...b n и c 1 ,c 2 ,...c n с сомножителями 1 и j , то А = 1А 1 + / А 2 (2.7) где А 1 - определитель n-го порядка, у которого элементы i -ой строки являются числами t\, b 2 ,...b n , а остальные строки совпадают со строками исходного определителя, А 2 - определитель n-го порядка, у которого элементы i -ой строки являются числами c 1 , c 2 ,...c n , а остальные строки совпадают со строками исходного определителя. Доказательство. Разложим определители А, А 1 , А 2 по элементам i -ой строки: n i+j . i+ j . n i+j . i+j . А = £ (— 1) aMj = X (— 1) (Lb. +jic)Mj = X (— 1) 1bMj + X (— 1) /cMj j =1 j =1 j =1 j =1 n i + j . n i + j -1L(— 1) bMj + / X(— 1) cMj =1 А +/А 2 . j =1 j =1 Из этих трех свойств вытекают следующие свойства определителей: С1. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю. Доказательство. С одной стороны, при перестановке этих двух строк определитель должен сменить знак на противоположный. С другой стороны, поскольку строки равны, то определитель должен остаться прежним, то есть А = —А . Тогда 2А = 0 и А = 0. С2. Умножение элементов строки (столбца) определителя на некоторое число 1 равносильно умножению на это число самого определителя. 3