Лекции учебной дисциплины "Алгебра и геометрия"

Доказательство вытекает из линейного свойства 3 при / = 0 • С3. Если в определителе все элементы строки (столбца) равны нулю, то и сам определитель равен нулю. С4. Если в определителе имеются две пропорциональные строки (или два столбца), то такой определитель равен 0. С5. Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответственно элементы другой строки (столбца), умноженное на некоторое число l , то определитель не изменится. Доказательство• На основании линейного свойства определитель, полученный прибавлением к элементом некоторой строки исходного определителя элементов другой его строки, можно представить в виде двух определителей, один из которых совпадает с исходным, а другой равен 0 в силу свойств С4. 4. Сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю. Доказательство • Разложим определить n-го порядка по элементам 1 -ой строки: a a a 1 2 a a a i1 12 a a k 1 a k 2 ••• a k n a det A = a. A + a. 7 A 7 + ...a. A. i1 i1 1 2 1 2 in in (2.8) a a n 2 a Алгебраическое дополнение A .j не зависит от элементов 1 -ой строки. Построим новый определитель из исходного, заменив 1 -ую строку k -ой строкой. Получим определитель, у которого будут одинаковые две строки. Поэтому новый определитель будет равен 0. Но его разложение по элементам 1 -ой строки будет иметь вид: ••• a a 11 a 12 •*1n a 21 a 22 a 2n a k1 a k2 a k1 a k2 a n1 a n2 a kn a kn a = a k 1 A i 1 + a k 2 A i 2 + ••• a kn A in • Следовательно: a k1 A 11 + a k 2 Д. 2 + . . . a^ Д. п = 0 . 5. Если C = AB, то |C| = |A||B|. n n л 5 л л л 4