Лекции учебной дисциплины "Алгебра и геометрия"

i+ J "J = \.n : А = X( - 1) ajM'j (2.4) i=\ Алгебраическим дополнением Aj элемента a^ называется число A = (—\)' +j M j . Таким образом алгебраическое дополнение может отличаться от минора только знаком. С учетом введенного определения формулы (2.3) и (2.4) упрощаются соответственно: m m "i = 1.n : А = У a..A. и " j = 1.n : А = У a..A. . i—t j j -J i—t j j J=\ i=\ Пусть k - фиксированное число \ £ k < n и дана матрица (2Л). Зафиксируем номера i 2 , i 3 ,. i k и j \ , j 2 , j ; , . .. j k , удовлетворяющие условию: \ £ < i 2 < ... < i k £ n , \ £ j < j 2 < ... < jk £ П . Минором первого типа M j j ^ ' j называется определитель k -го порядка, соответствующей той матрице, которая получается из A путем сохранения в ней k строк ^ i^... i k и k с т о л б ц о в j \ , j^ U-- j k . Минором второго типа M^.j называется определитель (n — k )-го порядка, соответствующей той матрице, которая получается из A путем вычеркивания в ней k с т р о к i 2 , .З^.. i k и k с т о л б ц о в j \ , ^ j ^ . . . j\ . Теорема Лапласа. Пусть k - целое фиксированное число \ £ k < n и числа i\, i 2 , . ; ,. .. i k удовлетворяют условию: \ £ . < i 2 < ... < i k £ n . Тогда для определителя (2.2) справедлива формула: А = Е(— tf+ i2+ ... + ^ +j2 ... +jk Mjj 2 ;;j M j ^ : ^ , (2.5) •A j 2... j k которая называется разложением определителя по к строкам. В формуле (2.5) суммирование осуществляется по всевозможным индексам j , j 2 , j3,... j k , удовлетворяющим условию \ £ j\ < j 2 < ... < j k £ n . Если k = \ тогда Mj\ = и формула совпадает с разложением по строке. В полной аналогии записывается формула разложения по k столбцам. Задание. Записать разложение определителя по формуле Лапласа, выбрав k = 2 : . Ответ: -8. \ \ \ \ \ —\ 2 2 \ \ — \ 3 \ \ \ — \ Свойства определителя 1. Равноценность строк и столбцов определителя. 2