Лекции учебной дисциплины "Алгебра и геометрия"

Лекция № 10 Определители. Основные понятия и определения. Рассмотрим произвольную квадратную матрицу n-го порядка: Л: а 11 а 12 а. v a n i а 22 а 2 n а а (2.1) n 2 nn Для любой квадратной матрицы вводится в рассмотрение некоторая числовая характеристика, которая называется определителем или детерминантом. Обозначается определитель следующим образом: \Л\ или а 11 а 1 2 а 2 1 а 2 2 а а а , а 0 ... а n 1 n 2 nn или А или det Л. Для матрицы первого порядка Л = (а 11 ), то определитель равен А = |Л| = а 11 . Для матрицы второго порядка Л = а„ V а 21 а а определитель вычисляется следующим 22 / образом: А = а 11 а 22 — а 21 а 12 . Введем понятие определителя n-го порядка через понятие определителя n-1 порядка (то есть по индукции). Минором элемента а у квадратной матрицы n-го порядка (2.1) называется определитель n-1 порядка, соответствующей матрице, получаемой из (2.1) вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца, на пересечении которых находится элемент а у . Минор обозначается M j . Определителем n-го порядка, соответствующей матрице (2.1), называется число, 1+j определяемой по следующей формуле: А = ^ (— 1) а 1 j M j . (2.2) j =1 Для n=2 определитель, вычисленный по этой формуле, равен А = а 11 а 22 — а 21 а 12 . Теорема 2.1. Какова бы ни была строка i (i = 1, n) для определителя (2.2) справедлива формула, которую называют разложением определителя по элементам i -ой строки: i+j "i = 1.n : А = X (— 1) a j M j (2.3) j =1 Теорема 2.2. Каков бы ни был столбец j ( j = 1, n ) для определителя (2.2) справедлива формула, которую называют разложением определителя по элементам j -ого столбца: 1