Лекции учебной дисциплины "Алгебра и геометрия"

r n r n 1 P = I (I - 1j j k ' k P = II a 1j j k k P ' k =1 j=1 k =1 j=1 Как элемент матрицы A( BC ) он вычисляется как: n r n r d . = У — У b..c. = У У a..b..c. 1P 1j jk kP 1j jk kP j =1 k =1 j =1 k =1 (1.1) (1.2) Формулы (1.1) и (1.2) отличаются только порядком следования знаков суммы, что не влияет на окончательный результат. Поэтому dp = dp . 2. Пусть A =(a..) , B =(b..) , C =(c p ) . Тогда ( A + B)C = AC + BC . J V J 'mm' V J >mxn' V JP >nxq V 7 Рассмотрим элемент d . , стоящий в i-ой строке и p-ом столбце результирующих матриц. Как элемент матрицы ( A + B)C он вычисляется следующим образом: d. = I(a.. + b..)c. = Ia..c. +Ib..c. . 1P 1j 1j jP 1j jP 1j jP j= 1 . =1 j =1 Как элемент матрицы AC + BC он вычисляется как: n n d. = У a..c. + У b..c. 1P 1j jP 1j jP j =1 j =1 (1.3) (1.4) Формулы (1.3) и (1.4) показывают, что d p = dp. 3. A( B + C ) = AB + AC . Доказательство аналогично свойству 2. Транспонирование. Пусть имеется матрица A = (a. ) . Матрица B называется транспонированной матрицей по отношению к матрице A , если строки матрицы A являются столбцами матрицы B , а столбцы матрицы A - строками матрицы B . Транспонированная матрица обозначается как: A T или A . (1 3^ О 5 4 Пример. Пусть A V 3 2 6 тогда A T V 5 2 4 6 Свойства: 1. (A T ) T = A . 2. ( A + B) T = A T + B T . 3. (lA) T = 1A T . 4. ( AB) T = B T A T . Блочные матрицы Исходную матрицу A = (a. ) можно рассмотреть в виде матрицы A = (A 0// ), где элементами A a// являются матрицы меньших размеров - блоки. Пример. 4