Лекции учебной дисциплины "Алгебра и геометрия"

2. Пусть A • BA = ^ b A . V \ a V Л/ B = (b ... b n ), тогда AB ab ... ab 1 1 1 n \ a b n 1 a b , n n Однако в частном случае может выполняться равенство: AB = BA. Тогда матрицы называются перестановочными (коммутирующими). Пример. ( 1 2 ^ ( - 3 2 ^ ( - 7 - ( - 7 - 6 Л A = , B = , тогда AB = , BA = V- 2 0 , - 2 - 4 V 2 4 У V 6 - 4 у V 6 - 4 У Квадратная матрица называется диагональной, если у нее все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю: f d 0 0 ... 0 > 0 d 2 0 ... 0 D = 0 0 d 3 ... 0 = diagd ... dn), n d. - любые числа, в i том числе v 0 0 0 ... d „, нулевые. Если d 1 = d 2 = ... = d n = d то такая матрица называется скалярной. Если D и скалярная матрица, то AD = DA. Если d = 1, то матрица называется единичной: E = I = Г 1 0 ... 0 Л 0 1 .... 0 0 0 1 и справедливо V w w ••• "У равенство: AI = IA = A . Если в скалярной матрице элементы d = 0 , то получаем нулевую матрицу: ^0 0 ... 0 Л 0 0 0 0 у 0 0 ... 0 у и справедливо равенство: A 0 = 0 A = 0 . Свойства: 1. П усть A =а ) _ , B = ( b l t l , С = ( C p . тогда ( A B ) C = A ( B C ) . Для доказательства достаточно доказать равенство соответствующих элементов результирующих произведений. Рассмотрим элемент d p , стоящий в i-ой строке и p-ом столбце этих произведений. Как элемент матрицы ( A B ) C он вычисляется следующим образом: i=1 3