Лекции учебной дисциплины "Алгебра и геометрия"

A f С + d л =A ' С ^ + f d1 ^ =A f С ^ + A f d1> = f 01 + f 01 = f 01 v C n + d n 1 I c n v d n J I c n J v d n J V 0 J V 0 J V 0 J Обобщенное свойство: Любая линейная комбинация решений ОСЛУ также является решением. ' с > Г d Доказательство: Пусть C- D-- V C n У V d n - решения ОСЛУ, то есть AC = 0, AD = 0. Тогда A(1C+mD) = 1AC+mAD = 0. Фундаментальной системой решений называется любая совокупность решений, удовлетворяющих условиям: 1. она является линейно-независимой; 2. любое решение можно представить в виде их линейной комбинации. Теорема 5.3. Если ранг r ОСЛУ удовлетворяет условию: r < n , то число линейно- независимых решений ОСЛУ равно n - r . У ОСЛУ существует много фундаментальных систем решений. Особое место занимает нормальная фундаментальная система решений: 1 ) X+ = 1 x+2 = °... х п = ^ x i = Cf...x r = C 1 . 2) Xr+i = 0, Xr+2 = 1...Xn = 0, x = Cf...xr = C 2 n-r) Xr+i = 0, Xr+2 = 0...Xn = 1, Xi = Ci n-r ...Xr = Cn r . Каждое решение можно переписать в векторной форме: X 1 = C 1 r 1 0 V 0 У X 2 = f C 2 ^ C 2 r 0 1 v 0 у f Cn~r\ Cn X n-r = 0 0 V 1 У (5.13) Решения (5.13) образуют нормальную фундаментальную систему решений. Матрица Ф = (X ... X n-r ) называется нормальной фундаментальной матрицей ОСЛУ. Тогда любое решение ОСЛУ можно представить в формализованном виде через нормальную фундаментальную матрицу: X = V V X n у = A X + A 2 X 2 +.... + A n _ r X^ r = (X 1 ,X 2 ,...X n r ) ' a 1 ^ a = Фа, V a n_r у 7