Лекции учебной дисциплины "Алгебра и геометрия"

где а f a ^ а \ a n-r J - вектор коэффициентов, элементы которого могут принимать любые значения. Связь между решениями однородной и неоднородной системы линейных уравнений Рассмотри общую систему неоднородных линейных уравнений в матричном виде: AX = B , где A = 5 ^ mvn a a a a. a a , V a m1 a m2 a X , = nx1 mn J V V x I n f u\ B , = mx1 b к b j m Рассмотрим однородную систему: AX = 0 (5.14) (5.15) Система (5.15) называется приведенной системой. Теорема 5.4. Сумма любого решения неоднородной СЛУ (5.14) с решением однородной системы (5.15) будет являться решением неоднородной СЛУ (5.14). Доказательство. Пусть q, с 2 ...с п ; - решение системы (5.14), а d 1 , d 2 ...d n решение системы (5.15). Легко показать, что с + d 1 , с 2 + d 2 ..x n + d n является решением системы (5.14): для n n n V k = 1, m E a ki (с + d t ) =E a ki c t + E a ki d t =b k + 0 = b k или в матричном виде: i=1 1=1 1=1 A(C + D) = AC + AD = B + 0 = B Теорема 5.5. Разность двух решений неоднородной системы (5.14) будет решением однородной системы (5.15). Доказательство. Пусть q,С 2 ...С п и с , с ...с - решения (5.14). Тогда Vk = 1, m Ё an ( с - с') = Ё a ^ + Ё a ^ =bk - b k = 0 и л и в м а т р и ч н о м в и д е : i =1 i =1 i =1 A(C - C ) = AC - AC' = B - B = 0 Из доказанных теорем следует, что найдя некоторое решение (5.14) и сложив его с любым решением (5.15) мы можем получить всевозможные решения неоднородной системы линейных уравнений: x = x 0 + Фа, где x 0 - частное решение неоднородной системы линейных уравнений, x - общее решение неоднородной системы линейных уравнений, Ф = (x ... x n-r ) -нормальная фундаментальная матрица ОСЛУ; 8