Лекции учебной дисциплины "Алгебра и геометрия"

третью строку на 7: . Видим, что ранг A = рангу Д = 3 . Решение 1 8 - 7 12 N 0 - 1 - 2 - 4 0 0 1 1 v 0 0 0 0 у единственное, так как ранг равен числу неизвестных. Последняя матрица соответствует следующей системе уравнений: x 1 + 8 x 2 - 7 x 3 = 12 - x 2 - 2x 3 = - 4 x 3 = 1 Из третьего уравнения имеем x 3 = 1. Подставляем во второе, получим x 2 = 2 . Подставляя в первое - x 1 = 3. Ответ: x 1 = 3; x 2 = 2 ; x 3 = 1. Решение однородной системы линейных уравнений Однородная система линейных уравнений( (ОСЛУ) Имеет следующий вид: ад + a 1 2 x 2 + ... + a 1n x n = 0 a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n 0 (5.12) + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = 0 Поскольку столбец свободных членов нулевой, то прибавление к его основной матрице не меняет ее ранга. Следовательно, ранг A = рангу Д , то есть выполнено условие Кронекера- Капелли) и ОСЛУ всегда совместна. Решение x 1 = x 2 = ...x n = 0 называется тривиальным или нулевым решением. Если ранг A = r = n , то Для того, решение единственное. Теорема 5.1. Для того, чтобы ОСЛУ имела нетривиальное решение необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы был меньше числа неизвестных: r < n . Теорема 5.2. Квадратная ОСЛУ имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда ее определитель ее основной матрицы равен нулю: А = 0. Свойства решений ОСЛУ: 1. Если с 1 ,c 2 ...c n - решение (5.12), то для любого действительного числа l Лс 1 ,Лс 2 ...Лс п также является решением (5.12). Доказательство: Исходя из условия утверждения, справедливо равенство: A V с n J 0 V 0 J . Тогда A Iq к Л с п J { „ \ 1A с 0 V " n j v " y 2. Пусть q, с 2 ...с п ; d 1 , d 2 ...d n - два решения системы (5.12). с 1 + d 1 , с 2 + d 2 ...^ n + d n - решения системы (5.12). Доказательство: Исходя из условия утверждения, справедливо равенство: Тогда 6