Лекции учебной дисциплины "Алгебра и геометрия"

С помощью элементарных преобразований над строками и перестановкой столбцов расширенная матрица Д может быть приведена к виду: 1 0 0 1 0 0 0 0 0 a,. 0 a. 2r+1 1 0 a rr +1 0 2n ... a n 0 0 bi b, b r v 0 0 ... 0 0 0 0 b m J (5.9) Матрица (5.9) соответствует системе: X X x„ + a i r+1 X r+1 + . . .. + a i n X n = b + a 2 r+1 X r+1 + . . .. + a 2 n X n = b 2 + a r r + 1 X r+1 + . . .. + a n x n - b r 0 - b'+ (5.10) 0 - bm Она эквивалентна исходной системе. Если хотя бы одно из чисел b r + 1 , b r + 2 ...b m отлично от нуля, то система (5.10), а следовательно, и исходная система - несовместна. Если все числа Ь г + 1 , Ь г + 2 ...b m равны нулю, то система совместна и (5.10) позволяет определить главные неизвестные x 1 ,x 2 ...x r через свободные X r +1 , X f+2 .. .X n . Существует метод Гаусса, суть которого заключается в следующем: с помощью элементарных преобразований строк и перестановкой столбцов заданная система приводится к системе ступенчатого вида: a n a 1 2 ... a 1 r a 1r+1 a 1 n Ь, 0 a 2 2 .. a 2 3 a 2 r+1 a 2 n Ь2 0 0 ... a r a rr +1 a rn b r 0 0 0 0 0 0 b T+1 0 0 ... 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b (5.11) m У Если Ь г + 1 Ф 0, то система несовместна, в противном случае, когда в г + 1 - 0 - совместна. Пример 5.1. 3x 1 - 5x 2 + 2x 3 + 4x 4 - 2 7x 1 - 4x 2 + x 3 + 3x 4 - 5 5x 1 + 7x 2 - 4x 3 - 6x 4 - 3 Рассмотрим расширенную матрицу: a 1 n 4