Лекции учебной дисциплины "Алгебра и геометрия"

Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что базисный минор матрицы A расположен в левом верхнем углу. Этот минор будет базисным и для Д . Если r < m , то по теореме о базисном миноре все строки матрицы A , начиная с r + 1 по m , будут линейно-зависимыми от базисных строк. Следовательно, решение для первых r строк будет превращать в тождества все уравнения, начиная с r + 1-го. Поэтому в системе (5.6) оставим только первые r строк: а 11 x + а 12 X + . . . + a i n x n = b a 21 X + ^ 2 x 2 + ... + a 2 n X n = b 2 ( 5 . 7 ) ax + ax +... + a x = b r1 l r 2 i rn n r По определению ранга r £ n . Поэтому рассмотрим два случая: 1) r = n Система получается квадратной с |A| Ф 0. Решение находится по формуле Крамера. 2) r < n Предполагая, что базисный минор находится в левом верхнем углу матрицы A , перенесем в правую часть все слагаемые с неизвестными x r+1 ,x r+2 ...x n и зададим им некоторые числовые значения: x r+1 = C +1 ,x r+2 = C+ 2 ...x n = C n . Тогда система (5.7) перепишется в виде: а 1 1 x + а 1 2 x 2 + . . . + a i r x r = Ь - a i r + 1 C r + 1 - . . . - a i n C n a 2 1 x + a 2 2 x 2 + . . . + a 2 r x r = Ь 2 - a 2 r + 1 C r + 1 _ . . . _ a 2 n C n ( 5 . 8 ) ax + ax + ... + a x = b - a + C+ —... - a C r 1 1 r 2 2 rr r r rr 1 r +1 rn n Система (5.8) квадратная с определителем, отличным от нуля. Решаем по формуле Крамера: x = C 1 ,x 2 = C 2 ...x r = C r . Этот набор является единственным при заданных значениях x r+1 = C r+1 ,x r+2 = C r+2 ...x n = C n . Таким образом решение системы: x = C 1 , x 2 = C 2 . . . x r = С , x r + 1 = C r + 1 , x r + 2 = C r+2... x n = C n . Так как переменным x r + 1 ,x r+2 ...x n мы придали произвольные значения, то решение системы (5.6) будет не единственным, то есть система будет неопределенной. Переменные x 1 , x 2 ...x r называются главными переменными, а x r + 1 , x r+2 ...x n - свободными. Таким образом, вытекает общее правило решения общей системы линейных уравнений: 1) Выяснить : совместна ли система, то есть выполняется ли условие: ранг A = ранг A . Если условие выполняется, то система совместна, в противном случае - не совместна.. 2) Пусть ранг A = ранг A 1 = r . 3) Оставляем в левой части системы только те уравнения и те неизвестные, которые соответствуют строкам и столбцам базисного минора. Свободные переменные переносим в правую часть системы. 4) Придавая свободным переменным какие-то числовые значения, решаем далее квадратную систему линейных уравнением с определителем не равным нулю по формуле Крамера. 5) Тем самым находим остальные неизвестные. Метод последовательных исключений Жордана-Гаусса 3