Лекции учебной дисциплины "Алгебра и геометрия"

Лекция № 10 Поиск решений системы линейных уравнений 1. Решение квадратной системы линейных уравнений. Рассмотрим квадратную систему: а 1 1 Х 1 + а 1 2 x 2 + . . . + a i n x n = b i a i x + a 0 , x +... + a x = b 21 1 22 2 2 n n 2 (5.1) a x + a x + ... + a x = b n 1 1 n 2 2 nn n n Пусть A Ф 0, где A = a a. a 2 1 a 2 2 a a n 1 n 2 a a a nn а) Докажем, что при этих условиях квадратная система совместна и определена. •. a 1 n b Для этого рассмотрим расширенную матрицу: A n x ( n+1) a 1 1 a 1 2 a 2 1 a 2 2 a a n 1 n 2 a b 2 n 2 a b , nn n и докажем, что ранг A = ранг A : Поскольку | A Ф 0, то ранг A =n. Ранг A не может быть больше n, так как число строк Д равно n . Следовательно, ранг A = ранг Д , то есть система совместна. б) Покажем, что это решение единственное. Пусть xj,x 2 ...x n - числа, которые будучи подставлены в систему (5.1) превращают их в тождества (такие числа существуют, так как система совместна). Умножим первое равенство на A l , второе - на Д , .... n -ое на A , где А- , A , . . . А - алгебраические дополнения элементов J - го столбца матрицы A . ПРОсуммируем полученные уравнения: n X x ( a 1 iAJ- + a 2i A2J + ... + a ni Ajj ) = b A J + b 2 Д J- + . . . + bAjj (5.2) i=1 В левой части (5.2) при i Ф J мы имеет сумму произведений элементов i - го столбца на алгебраические дополнения элементов J - го столбца, которая согласно свойству определителя равна 0. При i = J сумма равна определителю основной матрицы A: x.А = b A J + b 2 J +... + ЬА. , J = Vn . (5.3) Обозначим А j - определитель, который получается из определителя А заменой его J -го столбца на столбец свободных членов. Видно, что в правая часть выражения (5.3) представляет собой разложение определителя по элементам J -го столбца, в качестве которого взяты свободные члены b 1 ,b 2 ...b n . Таким образом: x A = А ., J = 1, n . 1