Лекции учебной дисциплины "Алгебра и геометрия"

Эти тождества можно переписать в матричной форме: ' a ^ + a ^ +... + a X ^ Г Ь л a 21 C 1 + a 2 2 C 2 + . . . + a 2 n C n v a ,C + a C +... + a CI I b , V m1 1 m 2 2 mn n / \ m / b или C 1 a 11 C 1 a 21 + V C 1 a m1 J V C 2 a m2 J C 2 a 12 C 2 a 2 2 + ... + Ca n 1 n Ca n 2 n V C n a m 1 n J V b m J b или a 1 1 C a 21 V a m1 J a a 1 2 + C, a 22 V a m 2 J a 1 n + . . . +C a 2 n ( и \ V a m1 n J V b m J b 1 b (4.4) Из выражения (4.4) видно, что столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов основной матрицы. Следовательно, его присоединение к матрице A не увеличивает числа независимых столбцов в матрице A 1 по сравнению с матрицей A, то есть ранг A = ранг Д . Достаточность Дано: ранг A = ранг Д . Из этого следует, что базисный минор матрицы A является базисным и для матрицы A 1 . Следовательно столбец свободных членов по теореме о базисном миноре есть линейная комбинация базисных столбцов матрицы A 1 . И, следовательно, линейная комбинация всех столбцов основной матрицы A , где небазисные столбцы возьмем с коэффициентом 0. Тогда справедливо соотношение (4.3). Отсюда видно, что нашлись числа C 1 ,C 2 ,...C n , которые превращают систему (4.1) в тождество, то есть система совместна. Доказательство завершено. Теорема Кронекера-Капелли формулирует необходимые и достаточные условия существования решения системы (4.1) , но не дает пути ее решения. 4