Лекции учебной дисциплины "Алгебра и геометрия"

Здесь xj,x 2 ...x n - неизвестные; a 11 ,a i2 ....a. mn - коэффициенты системы; b 1 ,b 2 ...b m - свободные члены. Коэффициенты системы и свободные члены являются известными величинами. Если b 1 = b 2 = ... = b m = 0 , то система (4.1) является однородной, если существует хотя бы один свободный член b j не равный нулю, то система называется неоднородной. Если m = n , то система (4.1) называется квадратной. Решением системы (4.1) называется такая совокупность n чисел C 1 , C 2 ,...C n , которая будучи подставлена в систему (4.1) вместо соответствующих неизвестных x l ,x 2 ...x n , превращает уравнения в тождества. Не всякая система имеет решение. Если система (4.1) имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. В противном случае - несовместной. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной - если имеет более одного решения. Систему (4.1) можно представить в матричной виде: AX = B (4.2) Здесь A a a 12 a 1 n a 21 V a m 1 a 22 a 2 n a a X mn J x„ \ x , n ( и \ B b b У b У V т/ Матрица A называется основной матрицей системы. Условия существования решения системы линейных уравнений. Наряду с матрицей A введем в рассмотрение матрицу A 1 : A a 1 1 a 1 2 a 21 a 22 V a m 1 a m 2 a 1„ b 1 a 2 n a b b - расширенная матрица системы. m Теорема 4.5 Кронекера-Капелли. Для того, чтобы система (4.1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы A был равен рангу расширенной матрицы Д : ранг A = ранг Д . Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь Д а н о: система (4.1) является совместной., то есть найдутся числа Cj, C 2 ,...C n , которые превращают (4.1) в тождества. Эти тождества запишем в следующем виде: ^ 1 C 1 + a 1 2 C 2 + . . . + a 1 „ C n = b 1 a 21 C 1 + a 22 C 2 + . . . + a 2 n C n = b 2 ( 4 . 3 ) a ,C + aC +... + a C = b . m 1 1 m 2 2 mn n m 3