Лекции учебной дисциплины "Алгебра и геометрия"

Лекция № 10 Элементарные преобразования матрицы Элементарными преобразованиями матрицы являются: 1. умножение элементов строки ( столбца) матрицы на l Ф 0 ; 2. перестановка двух любых строк (столбцов); 3. добавление к строке (столбцу) линейной комбинации других строк. Матрица B , полученная из A элементарными преобразованиями называется эквивалентной матрицей. Теорема 4.1. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы, то есть: если матрицы A и B эквивалентны, то ранг A равен рангу B . Теорема 4.2. Матрицу A произвольных порядков mxn с помощью элементарных преобразований можно привести к следующему виду: 1) первые r столбцов совпадают с первыми столбцами единичной матрицы r - го порядка; 2) если r < m , то (m — r ) строк являются нулевыми, а число единиц, расположенных на диагонали единичной матрицы, равно рангу матрицы A. Пример. f A = v 0 2 —4 —1 — 4 5 3 1 7 0 5 —10 2 3 0 Осуществим элементарные преобразования. 1) Переставим первую строку на пятую, а пятую на вторую, вторую умножим на (-1) и переставим на первую: \ f 1 2 3 0 0 2) Из третьей вычитаем первую, умноженную на 3, из второй - первую, умноженную на 2: ' 1 0 4 —5 3 0 1 7 5 —10 2 —4 0 0 0 4 —5 —5 10 —11 22 5 —10 2 —4 3) Вторую делим на (-5), третью - на (-11), четвертую - на 5, шестую - на 2: 1