Лекции учебной дисциплины "Алгебра и геометрия"

Поскольку индекс . может принимать любые значения: , £ . £ n, то последнее равенство означает, что любую строку матрицы можно представить в виде линейной комбинации ее базисных строк. Выполняя разложение этого определителя по элементам последней строки можно аналогично доказать, что любой столбец матрицы можно представить в виде линейной комбинации ее базисных столбцов. Теорема 3.3. Максимальное число линейно-независимых строк матрицы равно максимально-независимому числу столбцов и равно рангу матрицы A. Теорема 3.4. Определитель n -го порядка Д равен нулю тогда и только тогда, когда его строки являются линейно-зависимыми. Доказательство. . Дано Д = 0. Так как определитель n -го порядка, то ранг матрицы, ему соответствующей, будет меньше n: r < n. Это значит, что будет хотя бы одна не базисная k -ая строка, которая (на основании теоремы 3.2) является линейной комбинацией базисных строк: a. = la, + 1 2 a 2 + ... + 1 r a., . = ,,n Добавление в это равенство слагаемых с нулевыми множителями не изменит его. Поэтому справедливо: a.. =1a .+1^ +... + 1a. +A.a.. +... + 1a ., где множители 1 = 0,...Л = 0, а k. . 2 2 . r r. 1 1. m m. 5 ^ 1 ~ m 5 индексы принимают значения: 1 > r, 1Ф k , . = ,, n. Последнее равенство означает, что k - ая строка является линейной комбинацией остальных строк. ( ^ ) . Строки линейно-зависимы. Следовательно, одна из них выражается через линейную комбинацию остальных. Вычитая из этой строки линейную комбинацию остальных строк, получаем нулевую строку. Согласно свойству определителя, такой определитель равен 0. 5