Лекции учебной дисциплины "Алгебра и геометрия"

M 4 = 2 - 4 3 1 2 - 4 3 0 1 - 2 1 - 4 1 - 2 1 2 = 0, M4 = 0 1 - 1 3 0 1 - 1 1 4 - 7 4 - 4 4 - 7 4 5 = 0. Следовательно r = 3, а M 3 - базисный минор. Строки и столбцы матрицы A , на пересечении которых находятся элементы базисного минора, называются базисными. Теорема 3.2. (о базисном миноре) 1. Базисные строки (столбцы) матрицы A являются линейно-независимыми. 2. Любую строку (столбец) матрицы можно представить в виде линейной комбинации ее базисных строк (столбцов) Доказательство. 1. Предположим противное утверждение: базисные строки являются линейно- зависимыми. Тогда на основании теоремы 3.1. одна из этих строк является линейной комбинацией других. Вычитая из этой строки линейную комбинацию других строк, получим нулевую строку. В этом случае содержащий эту строку базисный минор, который является определителем, равен нулю. Получили противоречие: по определению базисный минор не равен нулю. 2. Не нарушая общности, можно считать, что базисный минор матрицы расположен в левом верхнем углу, то есть на пересечении первых r строк и первых r столбцов. Построим определитель, добавив k -ую строку и j -ый столбец матрицы A к ее базисному минору: а 11 а 12 a 21 a 22 3 1r a i j a a 2r 2 j a a a a k1 a k 2 a kr a a Здесь j , k могут быть любыми из диапазонов :1 £ j £ n , 1 £ k £ m , в том числе совпадать с номерами строк и столбцов базисного минора. Покажем, что этот определитель равен 0: 1) пусть j £ r , и/или k £ r . В этом случае определитель равен нулю, как имеющий 2 одинаковых строки и/или две одинаковых столбца соответственно. 2) пусть j > r и k > r . В этом случае этот определитель равен нулю, как минор высокого порядка, окаймляющий базисный. Выполним разложение этого определителя по элементам последнего столбца: a j J A iJ + a 2 J A 1 j +... + a kJ A kJ = 0. При этом алгебраические дополнения от элементов столбца не зависят, обозначим их соответственно: C 1 , C 2 ,...C r + 1 , причем C r+1 = Aj Ф 0 как вычисленное значение базисного минора. Тогда справедливо равенство: a j = 1 j + 1 a 2 j + ... + 1 a n , г д е 1 = C C 1 =• C r+1 C • 1 = C r+1 C r +1 4