Лекции учебной дисциплины "Алгебра и геометрия"

линейно-зависимыми необходимо и достаточно, чтобы одна из этих строк была линейной комбинацией других. Доказательство. ( ^ ) Строки линейно-зависимы, следовательно выполняется равенство (4.1). Пусть A Ф 0 , b g разделив обе части (4.1) на A и введя обозначения l = , № = получим a a aj = 1b j + . . . + JUCJ , j = 1, n . ( 4 . 2) ( ^ ) Пусть выполняется (4.2). Тогда — aj + Ibj +. .. + M C j , j = 1, n . В последнем равенстве один из коэффициентов не равен нулю, поэтому в соответствии с определением строки являются линейно-зависимые. Минором k -го порядка матрицы A называется определитель k -го порядка, элементы которого стоят на пересечении k столбцов и k строк матрицы k £ min{m, n} . Пусть A имеет хотя бы один ненулевой элемент. Число r называется рангом матрицы, если выполняются следующие условия: 1. существует минор r -го порядка M г Ф 0; 2. все миноры более высоких порядков M r+1 , M r+2 ...., если существуют равны нулю. То есть рангом r называется максимальный порядок миноров отличных от нуля. Из этого следует такое правило определения ранга матрицы: 1. переходить от вычисления минора меньших порядков к минорам высших порядков; 2. если найден отличный от нуля минор k -го порядка, то требуется вычислить все окаймляющие его миноры k + 1-го порядка ( то есть содержащие в себе). Если все эти миноры равны нулю, то ранг матрицы равен k. Пусть ранг матрицы A равен r . Минор r -го порядка, отличный от нуля, называется базисным минором матрицы. В матрице может быть несколько базисных миноров. Пример. Найти ранг и базисный минор матрицы: 0 A f 2 1 v нуля: M 2 1 5 . Найдем хотя бы один минор второго порядка отличного от — 4 3 1 — 2 1 — 4 1 —1 3 — 7 4 — 4 — 4 3 — 2 1 порядка в поисках первого, отличного от нуля. Для этого необходимо перебирать строки и столбцы, не участвовавшие в миноре второго порядка. Пусть таким минором 2 — 4 3 -4 + 6 = 2 Ф 0. Рассмотрим окаймляющие его миноры третьего будет: M 2 1 1 1 Ф 0 . Далее рассмотрим окаймляющие его миноры четвертого порядка в поисках первого, отличного от нуля. Для этого необходимо перебирать строки и столбцы, не участвовавшие в миноре третьего порядка: 3