Лекции учебной дисциплины "Алгебра и геометрия"

Лекция № 10 Обратная матрица. Рассмотрим квадратную A n и единичную матрицы E n : AE = EA = A. Матрица B называется правой обратной матрицей по отношению к матрице A, если произведение AB = E. Матрица C называется левой обратной матрицей по отношению к матрице A , если произведение CA = E. Покажем, что если матрицы B и C существуют, то они совпадают. Изсочетательного свойства произведения матриц вытекает: C = CE = C ( AB) = (CA) B = EB = B. Присоединенной матрицей A V называется матрица, транспонированная к матрице, составленной из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A. Теорема 3.1. Для того, чтобы у квадратной матрицы A существовали обратные матрицы, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы A был отличен от нуля. Необходимость. ( ^ ) Дано: B и C существуют. Необходимо доказать, что det A Ф 0 . Доказательство: AB = E ; тогда | AB| = | E . Следовательно] A||B| = 1 и | A| Ф 0. Достаточность. ( ^ ) Дано: D = |A| Ф 0 . Необходимо доказать, что B и C существуют. Создадим матрицу B следующим образом: B= < A i i 4 A 1 > n А А А 4 4 A 2 n 2 А А А 4 4 ' . A пп ^ А А А j то есть i -ая строка получается из алгебраического дополнения элементов i -го столбца матрицы A , деленных на ее определитель. Построенная матрица B является правой и левой обратной матрицей по отношению к матрице A . Для доказательства достаточно умножить матрицу A на B справа и слева и получить в результате единичную матрицу E: 1