Математические основы теории автоматического управления оптико-электронными приборами

77 Отсюда вытекает правило принципа аргумента : изменение аргумента вектора D ( j ω ) при изменении частоты ω от – ∞ до + ∞ равно разности ( n – 2 m ) между числом левых и правых корней уравнения D ( p ) = 0, умноженному на π , а при изменении частоты ω от 0 до + ∞ эта разность умножается на π /2. Перейдем к доказательству критерия Михайлова * , вытекаю - щего из принципа аргумента и являющегося его геометрической интерпретацией . Пусть дано характеристическое уравнение D ( р ) (3.7), при р = j ω получим комплексный полином D ( j ω ) n - го порядка : D ( j ω ) = a 0 ( j ω – p 1 ) ( j ω – p 2 ) ... ( j ω – p n ) = a 0 ( j ω ) n + a 1 ( j ω ) n –1 + ... + a n = = Re D ( j ω ) + j Im D ( j ω ) = D ( ω ) e j φ ( ω ) , где Re D ( j ω ) = Х ( ω ) = a n – a n– 2 ω 2 + a n –4 ω 4 – …; Im D ( j ω ) = Y ( ω ) = = a n– 1 ω – a n– 3 ω 3 + a n –5 ω 5 – ...; Х ( ω ), Y ( ω ) – вещественные и мнимые функции Михайлова ; D ( ω ), φ ( ω ) – модуль и фаза ( аргумент ) векто - ра D ( j ω ). Для устойчивости САУ необходимо и достаточно , чтобы число правых корней m = 0, тогда угол поворота вектора D ( j ω ) со - ставит 0 arg( ( )) 2 D j n ω=∞ ω= π ∆ ω = . (3.12) Условие (3.12) является необходимым , но недостаточным , так как среди корней не должно быть корней , лежащих на мнимой оси , т . е . должно выполняться еще одно условие D ( j ω ) ≠ 0. Формулировка критерия Михайлова : для того , чтобы САУ была устойчива , необходимо и достаточно , чтобы годограф Ми - хайлова D ( j ω ) при изменении ω от 0 до ∞ повернулся , нигде не об - ращаясь в нуль , вокруг начала координат , против часовой стрелки на угол n π /2, где n – порядок характеристического уравнения . * Критерий сформулирован в 1938 г . русским ученым А . В . Михай - ловым .