Математические основы теории автоматического управления оптико-электронными приборами

74 Пример 3.2. n = 3 => характеристическое уравнение : 3 2 0 1 2 3 ( ) 0. D p a p a p a p a = + + + = Определители Гурвица : ∆ 1 = a 1 > 0; ∆ 2 = a 1 a 2 – a 0 a 3 > 0; ∆ 3 = a 3 ∆ 2 – а 1 2 а 4 > 0, условие устойчивости : a 0 > 0; a 1 > 0; a 2 > 0; a 3 > 0; a 1 a 2 – a 0 a 3 > 0. При n > 5 вычисления определителя усложняются , поэтому удобнее применять критерий Льенара – Шипара [3]. Таким образом , при n ≤ 2 положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым и доста - точным условием устойчивости САУ . При n > 2 появляются до - полнительные условия . Пример 3.3. Запишем характеристическое уравнение замкну - той системы : ( ) 1 2 1 2 1 2 ( 1)( 1) ; ( 1)( 1) ( ) 0,2 c, 0, ; 1 5 1 c k T p T p p k T p T p p d p T W p T + + + = + + = + = + = D ( р ) = Т 1 Т 2 р 3 + ( Т 1 + Т 2 ) р 2 + р + k = 0; ∆ 2 = а 1 а 2 – а 0 а 3 = ( Т 1 + Т 2 ) 1 – T 1 T 2 k > 0; k ≤ 1 2 1 2 0,2 0,5 0,7 7 0,1 0,1 T T T T + + = = = . При k = 7 система находится на границе устойчивости , при k < 7 устойчива , при k > 7 – неустойчива . Пример 3.4. 12 р 4 + 2 р 2 + 4 р + 50 = 0 – система неустойчива , так как а 1 = 0. Пример 3.5. р 3 – 7 р 2 + р + 100 = 0 – система неустойчива , так как а 1 = –7.