Математические основы теории автоматического управления оптико-электронными приборами

72 • частотные ( для линейных и для нелинейных систем ); • D - разбиений ; • на основе функций Ляпунова . 3.3. Алгебраические критерии устойчивости Алгебраические критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения . Эти критерии названы именами выдающихся ученых : Стодола , Рауса , Гурвица , Льенара – Шипара . Критерий Стодола : чтобы САУ была устойчива , необходимо , чтобы все коэффициенты характеристического уравнения 1 2 0 1 2 ( ) ... 0 n n n n D p a p a p a p a − − = + + + + = (3.5) были положительны : 0 1 2 0, 0, 0,..., 0. n a a a a > > > > (3.6) Доказательство . В соответствии с теоремой Безу характерис - тическое уравнение (3.5) можно представить в виде произведения сомножителей D ( р ) = а 0 ( р – р 1 ) ( р – р 2 ) … ( р – р n ) = 0. При а 0 > 0: для устойчивости системы ( теорема 1 Ляпунова ): р i = – λ i , р s ,( s +1) = – λ s ± j ω s ( i + 2 s = n ) коэффициенты уравнения (3.5) будут положительны : D ( р ) = ( ) 2 2 0 1 ( ) ( ) i s s i s a p p = + λ + λ + ω ∏ ∏ . Критерий Гурвица , сформулирован и получен в 1895 г . не - мецким математиком А . Гурвицем . Формулировка критерия Гурвица : чтобы САУ была устойчи - ва , необходимо и достаточно , чтобы все n диагональных миноров