Математические основы теории автоматического управления оптико-электронными приборами

71 где х – вектор ; А – постоянна я матрица ; ( ) A x ∆ ɺ – нелинейные чле - ны не ниже второго порядка разложения в ряд . Ляпуновым А . М . было определено , при каких условиях можно судить об устойчиво - сти ( неустойчивости ) невозмущенного движения по уравнениям первого приближения возмущенного движения x Ax = ɺ (3.4) и доказаны теоремы , где строго решена эта задача , с обоснованием возможности применения линеаризованных моделей при исследо - вании устойчивости . Теорема 1. Если все корни характеристического уравнения D ( p ) =  рЕ + А  = 0 системы первого приближения (3.4) имеют отрицательные вещественные части , то невозмущенное движение х * ( t ) асимптотически устойчиво при любых нелинейных членах ∆А ( х ). Теорема 2. Если среди корней характеристического уравне - ния D ( p ) = 0 имеет хотя бы один корень с положительной вещест - венной частью , то невозмущенное движение х * ( t ) неустойчиво при любых ∆А ( х ). Теорема 3. Если характеристическое уравнение D ( p ) = 0 не имеет корней с положительной вещественной частью , но имеет корни с вещественными частями , равными нулю , то невозмущен - ное движение х * ( t ) может быть устойчивым ( или неустойчивым ) в зависимости от вида нелинейной функции ∆А ( х ). Теоремы Ляпунова имеют важное значение для инженерной практики в исследовании САУ . Для определения устойчивости ли - неаризованных систем необходимо знать только знак корней . Од - нако при n > 3 возникают определенные трудности определения корней , поэтому были разработаны критерии устойчивости , позво - ляющие , не вычисляя корней , определять устойчивость ( неустой - чивость ) САУ : • алгебраические ( только для линейных систем );