Нечеткие множества: основы теории и приложения к моделированию решений

41 – ( , ) A B T µ µ = ( , ) B A T µ µ – коммутативность ; – ( ) , ( , ) A B C T T µ µ µ = ( ) ( , ), A B C T T µ µ µ – ассоциативность . Примеры Т - норм : ( , ) A B T µ µ = ( ) A B x ∩ µ . ( ) ( ) ( ) A B A B x x x ∩ µ = µ ⋅ µ ; ( ) ( ) max 0, ( ) ( ) 1 A B A B x x x ∩ µ = µ + µ − ; ( ), если ( ) 1; ( ) ( , ) ( ), если ( ) 1; 0, если ( ), ( ) 1. A B A B w A B B A A B x x x T x x x x ∩ µ µ =   µ = µ µ = µ µ =   µ µ <  Произвольная Т - норма ограничена следующим образом : ( , ) ( , ) min ( , ) w A B A B A B T T µ µ ≤ µ µ ≤ µ µ . В качестве модели операции объединения используется тре - угольная конорма ( ⊥ - конормой ), которой называется двуместная действительная функция ⊥ : [ ] [ ] [ ] 0;1 0;1 0;1 × → со свойствами : – (1,1) 1 ⊥ = ; (0, ) A A ⊥ µ = µ ; ( ,0) A A ⊥ µ = µ – ограниченность ; – ( , ) A B ⊥ µ µ ≥ ( , ) C D ⊥ µ µ , если A C µ ≥ µ , B D µ ≥ µ – монотон - ность ; – ( , ) A B ⊥ µ µ = ( ) , B A ⊥ µ µ – коммутативность ; – ( ) , ( , ) A B C ⊥ µ ⊥ µ µ = ( ) ( , ), A B C ⊥ ⊥ µ µ µ – ассоциативность . Примеры ⊥ - конорм : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B A B A B x x x x x ∪ µ = µ + µ − µ ⋅ µ ( , ) A B ⊥ µ µ = ( ) A B x ∪ µ ; ( ) ( ) min 1, ( ) ( ) A B A B x x x ∪ µ = µ + µ ; ( ), если ( ) 0, ( ) ( , ) ( ), если ( ) 0, 1, если ( ), ( ) 0. A B A B w A B B A A B x x x x x x x ∪ µ µ =   µ =⊥ µ µ = µ µ =   µ µ >  Произвольная ⊥ - конорма ограничена следующим образом : max ( , ) ( , ) ( , ) A B A B w A B µ µ ≤ ⊥ µ µ ≤ ⊥ µ µ .