Нечеткие множества: основы теории и приложения к моделированию решений

40 Определение 2.12. Разностью нечетких множеств A и B на - зывается нечеткое множество D = A – B , имеющее следующую функцию принадлежности : ( ) max(0, ( ) ( )) A B A B x x x − µ = µ − µ ; A , B ∈ U . Свойства основных операций над нечеткими множествами : 1) A B B A = ∪ ∩ , A B B A = ∩ ∩ ( коммутативность ); 2) ( ) ( ) A B C A B C = ∪ ∪ ∪ ∪ , ( ) ( ) A B C A B C = ∩ ∩ ∩ ∩ ( ассо - циативность ); 3) A A A = ∪ , A A A = ∩ ( идемпотентность ); 4) ( ) ( ) ( ) A B C A B A C = ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ , ( ) ( ) ( ) A B C A B A C = ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ( дистрибутивность ); 5) A A ∅ = ∪ , A ∅ = ∅ ∩ , A U U = ∪ , A U U = ∩ ; 6) _______ __ __ A B A B = ∪ ∩ , ________ __ __ A B A B = ∩ ∪ ( законы Де Моргана ); 7) A ∩ __ A ≠ ∅ , A ∪ __ A ≠ U ; 8) ( ) A B A B α α α = ∪ ∪ и ( ) A B A B α α α = ∩ ∩ , ∀ α . Однако в общем случае ___ ___ ( ) ( ) A A α ≠ . Введенные операции над нечеткими множествами основаны на использовании операций max и min. В теории нечетких мно - жеств находят применение операции пересечения , объединения и дополнения , позволяющие учесть разнообразные смысловые от - тенки соответствующих им связок « и », « или », « не ». В качестве модели операции пересечения используется тре - угольная норма ( Т - норма ), которой называется двуместная дейст - вительная функция Т : [ ] [ ] [ ] 0;1 0;1 0;1 × → , удовлетворяющая сле - дующим условиям : – (0,0) 0 T = ; (1, ) A A T µ = µ ; ( ,1) A A T µ = µ – ограниченность ; – ( , ) A B T µ µ ≤ ( , ) C D T µ µ ≤ , если A C µ ≤ µ , B D µ ≤ µ – монотон - ность ;