Процессы изготовления тонкостенных деталей пластическим деформированием

Глава 2. Основы теории изготовления деталей пластическим деформированием 79 Уравнения Коши в цилиндрических и сферических координатах со- ответственно имеют вид: ε ௥ = ߲ ݑ ௥ ߲  , ݎ ε θ = 1 ݎ ߲ ݑ θ ߲ θ + ݑ ௥  , ݎ ε ௭ = ߲ ݑ ௭ ߲ , ݖ γ ஘௭ = 1 ݎ ߲ ݑ ௭ ߲θ + ߲ ݑ ஘ ߲ , ݖ γ ௭௥ = ߲ ݑ ௭ ߲ ݎ + ߲ ݑ ௥ ߲ , ݖ γ ௥஘ = ߲ ݑ ஘ ߲ ݎ − ݑ ஘ ݎ + 1 ݎ ߲ ݑ ௥ ߲θ ; ε ρ = ߲ ݑ ρ ߲ ρ ,  ε θ = 1 ρ ߲ ݑ θ ߲ θ + ݑ ρ ρ ,  ε ஦ = 1 ρ sin θ ߲ ݑ ஦ ߲φ + ݑ θ ctg θ ρ + ݑ ρ ρ , γ θ ஦ = 1 ρ ቆ ߲ ݑ ஦ ߲ θ − ݑ ஦ ctg θ ቇ + 1 ρ sin θ ߲ ݑ θ ߲φ , γ ஡஦ = 1 ρ sin θ ߲ ݑ ஡ ߲φ + ߲ ݑ ஦ ߲ρ − ݑ ஦ ρ . (2.20) Для осесимметричных задач, когда ݑ  ஘ = 0 , а ݑ ௥ и ݑ ௭ не зависят от  , имеем: ε ௥ = ߲ ݑ ௥ ߲  , ݎ ε θ = ݑ ௥  , ݎ ε ௭ = ߲ ݑ ௭ ߲ , ݖ γ ௭௥ = ߲ ݑ ௭ ߲ ݎ + ߲ ݑ ௥ ߲ , ݖ γ ௥஘ = γ ஘௭ = 0. (2.21) Условия неразрывности (совместности) деформаций. Решение обратной задачи – нахождение перемещений как функций координат точек тела по известным компонентам деформаций сводится к интегрированию системы уравнений (2.17). Для существования решений этой системы необходимо наличие определенных связей между шестью компонентами деформаций. Это условие называют условием сплошности или совместно- сти деформаций Сэн – Венана. Условия сплошности малых деформаций получают из уравнений (2.17) путем исключения из них частных производ- ных от соответствующих перемещений по соответствующим координатам. В результате получим ߲ ଶ ε ௫ ߲ ݕ ଶ + ߲ ଶ ε ௬ ߲ ݔ ଶ = ߲ ଶ γ ௫௬ ߲ ݔ ߲ ; ݕ (2.22) ߲ ଶ ε ௬ ߲ ݖ ଶ + ߲ ଶ ε ௭ ߲ ݕ ଶ = ߲ ଶ γ ௬௭ ߲ ݕ ߲  ; ݖ ߲ ଶ ε ௭ ߲ ݔ ଶ + ߲ ଶ ε ௫ ߲ ݖ ଶ = ߲ ଶ γ ௭௫ ߲ ݔ ߲ ; ݖ ߲ ߲ ݔ ቆ− ߲ ଶ γ ௬௭ ߲ ݔ + ߲ ଶ γ ௭௫ ߲ ݕ + ߲ ଶ γ ௫௬ ߲ ݖ ቇ = 2 ߲ ଶ ε ௫ ߲ ݕ ߲ ; ݖ