Процессы изготовления тонкостенных деталей пластическим деформированием

Н.М. БОДУНОВ, В.И. ХАЛИУЛИН, А.В. СОСОВ, А.А. РАЗДАЙБЕДИН Процессы изготовления тонкостенных деталей пластическим деформированием 74 В каждой точке деформируемого твердого тела всегда существуют такие три взаимно ортогональные площадки, на которых касательные напряжения равны нулю, а нормальные напряжения достигают экстре- мума. Они называются главными. Направления нормалей к главным пло- щадкам образуют главные оси тензора напряжений, а напряжения, дей- ствующие на главных площадках, называются главными: σ ଵ ≥ σ ଶ ≥ σ ଷ . Зная напряженное состояние в точке, определяемое главными напряжени- ями, можно найти три взаимно ортогональные площадки, на которых каса- тельные напряжения достигают экстремума – главные (максимальные) ка- сательные напряжения: τ ଵଶ = ±(σ ଵ − σ ଶ )/2; τ ଶଷ = ±(σ ଶ − σ ଷ )/2; τ ଷଵ = ±(σ ଷ − σ ଵ )/2 . (2.7) При σ ଵ > σ ଶ > σ ଷ имеем τ ୫ୟ୶ = (σ ଵ − σ ଷ )/2 . Инвариантами тензора называют выражения, составленные из ком- понент тензора и не зависящие от ориентации координатных осей, напри- мер:  среднее нормальное напряжение (гидростатическое давление) σ ଴ = σ ௫ + σ ௬ + σ ௭ 3 = σ ଵ + σ ଶ + σ ଷ 3 ; (2.8)  интенсивность напряжений σ ௜ = = ଵ √ଶ ඥ(σ ௫ − σ ௬ ) ଶ + (σ ௬ − σ ௭ ) ଶ + (σ ௭ − σ ௫ ) ଶ + 6(τ ௫௬ଶ + τ ௬௭ଶ + τ ௭௫ଶ ) ; (2.9)  интенсивность касательных напряжений τ ௜ = = 1 √6 ට(σ ௫ − σ ௬ ) ଶ + (σ ௬ − σ ௭ ) ଶ + (σ ௭ − σ ௫ ) ଶ + 6൫τ ௫௬ଶ + τ ௬௭ଶ + τ ௭௫ଶ ൯. (2.10) В сокращенных обозначениях имеем σ ௜ = ඥ(3/2) ݏ ௜௝ ݏ ௜௝ . Величина σ ௜ через главные напряжения запишется следующим образом: σ ௜ = ଵ √ଶ ඥ(σ ଵ − σ ଶ ) ଶ + (σ ଶ − σ ଷ ) ଶ + (σ ଷ − σ ଵ ) ଶ . (2.11)