Процессы изготовления тонкостенных деталей пластическим деформированием

Н.М. БОДУНОВ, В.И. ХАЛИУЛИН, А.В. СОСОВ, А.А. РАЗДАЙБЕДИН Процессы изготовления тонкостенных деталей пластическим деформированием 72 Тензор напряжений в сокращенной записи делится на два тен- зора: ܶ ஢ = ܶ ஢଴ + ܦ ஢ = ൛δ ௜௝ σ ଴ ൟ + ൛ ݏ ௜௝ ൟ, (2.3) где ܶ ஢଴ – шаровой тензор, характеризует объемную (только упругую) де- формацию; ܦ ஢ – девиатор (отклонение) напряжений, характеризует изме- нение формы (упругую и пластическую деформацию); ݏ ௜௝ = σ ௜௝ − δ ௜௝ σ ଴ ; σ ଴ = ൫σ ௫ + σ ௬ + σ ௭ ൯/3 ; σ ଴ – среднее напряжение; δ ௜௝ – символ Кронекера, δ ௜௝ = 0 при i  j и δ ௜௝ = 1 при i = j . При решении практических задач удобнее пользоваться криволиней- ными ортогональными системами (см. рис. 2.9), из которых наиболее упо- требляемыми являются цилиндрические и сферические системы коорди- нат (табл. 2.2). Цилиндрические координаты. Координатные поверхности: круго- вые цилиндры с осью вращения 0 z , плоскости, перпендикулярные оси 0 z , и полуплоскости, проходящие через 0 z . Цилиндрические координаты r ,  и z связаны с прямоугольными координатами x , y , z соотношениями ݔ = ݎ cos θ ,  ݕ = ݎ sin θ ,  ݖ = .ݖ Таблица 2.2 Компоненты напряжения Система координат Компоненты напряжений Декартова σ ௫ σ ௬ σ ௭ τ ௫௬ τ ௬௭ τ ௭௫ Цилиндрическая σ ௥ σ θ σ ௭ τ ௥ θ τ θ ௭ τ ௭௥ Сферическая σ ρ σ θ σ ஦ τ ρθ τ θ ஦ τ ஦ ρ Сферические координаты. Координатные поверхности: сферы с центром 0 и радиусом  , круговые конусы с вершиной 0, образующие ко- торых составляют с осью вращения 0 z угол  , и полуплоскости, проходя- щие через 0 z под углом  к плоскости 0 xz . Сферические координаты  ,  и  связаны с прямоугольными координатами x , y , z соотношениями ݔ = ρ sin φ cos θ ; ݕ = ρ sin φ sin θ ;  ݖ = ρ cos φ. Для цилиндрической и сферической систем координат также выпол- няется закон парности касательных напряжений: τ ௥஘ = τ ஘௥ ; τ ஘௭ = τ ௭஘ ; τ ௭௥ = τ ௥௭ ; и τ ஡஘ = τ ஘஡ ; τ ஘஦ = τ ஦஘ ; τ ஦஡ = τ ஡஦ .