Процессы изготовления тонкостенных деталей пластическим деформированием

Глава 2. Основы теории изготовления деталей пластическим деформированием 71 Цифровая система индексов (табл. 2.1, система II) имеет то преиму- щество, что позволяет осуществить сокращенную запись напряжений. Обозначим одной буквой σ ௜௝ все напряжения, при этом условимся, что ин- дексы i и j принимают последовательно значения 1, 2 и 3. При i = j это будут нормальные напряжения, а при i  j – касательные напряжения. Использу- ется тензорное правило суммирования по повторяющимся индексам. Нормальные напряжения принято считать положительными, если они стремятся вызвать растяжение тела, и отрицательными, если сжатие. Таблица 2.1 Цифровая система индексов Номер системы Компоненты напряжений I σ ௫௫ σ ௬௬ σ ௭௭ τ ௫௬ τ ௬௫ τ ௭௬ τ ௬௭ τ ௫௭ τ ௭௫ II σ ଵଵ σ ଶଶ σ ଷଷ σ ଵଶ σ ଶଵ σ ଷଶ σ ଶଷ σ ଵଷ σ ଷଵ Закон парности касательных напряжений: τ ௫௬ = τ ௬௫ , τ ௭௬ = τ ௬௭ , τ ௫௭ = τ ௭௫ . Независимыми являются только шесть компонент напряжения, характеризующих напряженное состояние в точке. Таким образом, если за- даны напряжения в трех взаимно-перпендикулярных площадках (известны 6 компонент матрицы), то напряженное состояние точки определено. По отношению к декартовым системам координат с началом в рас- сматриваемой точке тела совокупность величин σ ௜௝ является тензором, называемым тензором напряжений ܶ σ : ܶ ஢ = ൛σ ௜௝ ൟ = ቮอ σ ௫  τ ௫௬ τ ௫௭ τ ௬௫ σ ௬ τ ௬௭ τ ௭௫ τ ௭௬ σ ௭ อቮ . (2.2) Таким образом, напряженное состояние это тензорная величина, в от- личие от скалярной (определяемой числом) и векторной (определяемой числом и направлением). Геометрический смысл тензора напряжений – по- верхность второго порядка. С тензорами производят различные математи- ческие действия, изучаемые в тензорном анализе. Важное следствие: по тензору напряжений определяют напряжение на любой площадке, наклон- ной относительно осей координат. Для этого нужно знать ее положение относительно осей координат, которое задается косинусами углов между нормалью к ней и координатными осями.