Процессы изготовления тонкостенных деталей пластическим деформированием

Н.М. БОДУНОВ, В.И. ХАЛИУЛИН, А.В. СОСОВ, А.А. РАЗДАЙБЕДИН Процессы изготовления тонкостенных деталей пластическим деформированием 572 Из условия симметрии следует ߲ܶ(0, )ݐ ߲ ݎ = 0. (3.207) Также имеется естественное ограничение ܶ(0, )ݐ ≠ ∞ . При условиях (3.206) для уравнения (3.205) известно точное решение, представленное в виде суммы бесконечного ряда, членами которого явля- ются функции от корней характеристического уравнения и времени. Отыс- кание корней и подсчет суммы ряда представляют определенные вычисли- тельные трудности. Разобьем радиус цилиндрической заготовки на n равных участков (рис. 3.313), обозначим температуру в точках деления радиуса заготовки . . . −ܶ ିଵ ; ܶ ଴ ; ܶ ଵ ; ܶ ଶ , . . . , ܶ ௡ и запишем дифференциальные уравнения тепло- проводности для каждого узла 0,1,2. . . , ݊ : ߲ܶ ଴ ߲ ݐ = ܽ ቆ ߲ ଶ ܶ ଴ ߲ ݎ ଶ + 1 ݎ ߲ܶ ଴ ߲ ݎ ቇ ; ߲ܶ ଵ ߲ ݐ = ܽ ቆ ߲ ଶ ܶ ଵ ߲ ݎ ଶ + 1 ݎ ߲ܶ ଵ ߲ ݎ ቇ ; ߲ܶ ଶ ߲ ݐ = ܽ ቆ ߲ ଶ ܶ ଶ ߲ ݎ ଶ + 1 ݎ ߲ܶ ଶ ߲ ݎ ቇ , … Заменим частные производные по координате r через конечные раз- ности ( ݅ = 0,1,2. . . , ݊) : ߲ܶ ௜ ߲ ݎ ≈ ܶ ௜ାଵ − ܶ ௜ିଵ 2 Δ  ; ݎ ߲ ଶ ܶ ௜ ߲ ݎ ଶ ≈ ܶ ௜ିଵ − 2ܶ ௜ + ܶ ௜ାଵ Δ ݎ ଶ ݎ , = ݅ Δ ,ݎ Δ ݎ = ܴ ݊ . Для неподвижного материала ߲ܶ/߲ ݐ = ݀ܶ/݀ ݐ . Поэтому можно запи- сать уравнение теплопроводности для i -го узла: ݀ܶ ௜ ݀ ݎ = ܽ ൬ ܶ ௜ିଵ − 2ܶ ௜ + ܶ ௜ାଵ Δ ݎ ଶ + 1 ݅ Δ ݎ ܶ ௜ାଵ − ܶ ௜ିଵ 2 Δ ݎ ൰ = = ܽ Δ ݎ ଶ ൤ܶ ௜ିଵ − 2ܶ ௜ + ܶ ௜ାଵ + 1 2݅ (ܶ ௜ାଵ − ܶ ௜ିଵ )൨. (3.208) Для i = 0 воспользуемся условием симметрии ܶ ିଵ = ܶ ଵ , а неопреде- ленность при r = 0 в уравнении (3.205) раскроем по правилу Лопиталя: ߲ܶ ଴ ߲ ݐ = 4ܽ ∆ ݎ ଶ (ܶ ଵ − ܶ ଴ ).