Процессы изготовления тонкостенных деталей пластическим деформированием

Глава 3. Процессы изготовления деталей средствами заготовительно-штамповочного производства 329 ܥ = ܲ ̄ݔ ଵ ܮ ൛ൣ1 + κ ∗ ̄ݔ( ଵ )ܮ ଶ ̄ݕ ଵ ̄ݕ ଵ ′ ൧ sin δ н + κ ∗ ̄ݔ ଵ ܮ ൫ ̄ݕ ଵ − ̄ݕ ଵ ′ ൯ cos δ н ൟ M ∗ ට1 + ൫ κ ∗ ̄ݔ ଵ ̄ݕܮ ଵ ′ ൯ ଶ , ; ̄ݕ ଵ = (̄ݕ 1),  ̄ݕ ଵ ′ = ̄ݕ ′ (1) . Сведем интегро-дифференциальную систему уравнений (3.154) и (3.155) к системе нелинейных дифференциальных уравнений первого по- рядка: ݖ ଵ ′ = ݖ ଶ ݖ ; ଶ ′ = [1 + ( κ ∗ ݖܮ ଶ ݖ ସ ) ଶ ] ଷ ଶ⁄ κ̄ ݖ ,̄ݔ( ଵ ݖ , ଷ ݖ , ସ ݖ , ଺ ); (3.157) ݖ ଷ ′ = 0,  ݖ ସ ′ = 0;  ݖ ହ ′ = ඥ1 + ( κ ∗ ݖܮ ଶ ݖ ସ ) ଶ ݖ ; ଺ ′ = 0. Здесь ݖ ଵ )̄ݔ( = ݖ  ;)̄ݔ(̄ݕ ଶ )̄ݔ( = ̄ݕ ′ ݖ  ;)̄ݔ( ଷ )̄ݔ( = (̄ݕ 1);   ݖ ସ )̄ݔ( = ̄ݔ ଵ ݖ ; ହ )̄ݔ( = = ∫ ඥ1 + ( κ ∗ ̄ݔܮ ଵ ̄ݕ ′ ) ଶ ݀ ̄ݔ ௫̄ ଴ ; ݖ ଺ )̄ݔ( = ̄ݕ ′ (1). Краевые условия (3.156) примут вид: ݖ ଵ (0) = ݖ ଶ (0) = ݖ ହ (0) = 0; ݖ ଵ (1) − ݖ ଷ (1) = 0;  ݖ ଶ (1) − ݖ ଺ (1) = 0; ݖ ସ (1) ݖ ହ (1) − 1 = 0. (3.158) Введем на отрезке изменения аргумента ̄ݔ ∈ [0,1] равномерную разностную сетку с шагом Δ ̄ݔ = 1 ܰ⁄ , где точки ̄ݔ ௜ = (݅ − 1) × × Δ ( ̄ݔ i =1, 2, ... , N +1 ) – узлы сетки, а ݖ ଵ ௜ ݖ , ଶ ௜ ݖ , . . , ଺ ௜ – значения сеточных функ- ций в узлах. В результате краевая задача (3.157), (3.158) с помощью конечно-разностной формулы второго порядка (формулы трапеций) сво- дится к системе нелинейных алгебраических уравнений относительно ݖ ଵ ௜ ݖ , ଶ ௜ ݖ , . . , ଺ ௜ : ݖ ଵଵ = 0;  ݖ ଶଵ = 0;  ݖ ହଵ = 0; ݖ ଵ ௜ାଵ − ݖ ଵ ௜ = Δ ̄ݔ 2 ( ݖ ଶ ௜ାଵ + ݖ ଶ ௜ ); ݖ ଶ ௜ାଵ − ݖ ଶ ௜ = Δ ̄ݔ 2 ൜ቂ1 + ൫ κ ∗ ݖܮ ଶ ௜ାଵ ݖ ସ ௜ାଵ ൯ ଶ ቃ ଷ ଶ⁄ κ̄ ൫ ̄ݔ ௜ାଵ ݖ , ଵ ௜ାଵ ݖ , ଷ ௜ାଵ ݖ , ସ ௜ାଵ ݖ , ଺ ௜ାଵ ൯ + + ቂ1 + ൫ κ ∗ ݖܮ ଶ ௜ ݖ ସ ௜ ൯ ଶ ቃ ଷ ଶ⁄ κ̄ ൫ ̄ݔ ௜ ݖ , ଵ ௜ ݖ , ଷ ௜ ݖ , ସ ௜ ݖ , ଺ ௜ ൯ൠ ; ݖ ଷ ௜ାଵ − ݖ ଷ ௜ = 0;  ݖ ସ ௜ାଵ − ݖ ସ ௜ = 0; ݖ ହ ௜ାଵ − ݖ ହ ௜ = Δ ̄ݔ 2 ൜ቂ1 + ൫ κ ∗ ݖܮ ଶ ௜ାଵ ݖ ସ ௜ାଵ ൯ ଶ ቃ ଵ ଶ⁄ + ቂ1 + ൫ κ ∗ ݖܮ ଶ ௜ ݖ ସ ௜ ൯ ଶ ቃ ଵ ଶ⁄ ൠ ;