Процессы изготовления тонкостенных деталей пластическим деформированием

Глава 3. Процессы изготовления деталей средствами заготовительно-штамповочного производства 269 Неизвестными являются величины ܿ ଴ ; ܿ ଵ ; ܿ ଶ ; ܿ ଷ и координата ݔ р . При граничных условиях (3.90) найдем коэффициенты с ଴ = с ଵ = 0 ; с ଶ = κ ଴ /2 , подставив их в (3.89), получим: )ݔ(ݕ = κ ଴ 2 ݔ ଶ + ܿ ଷ ݔ ଷ ݕ ; ′ )ݔ( = κ ଴ ݔ + 3ܿ ଷ ݔ ଶ ; ݕ ″ )ݔ( = κ ଴ + 6ܿ ଷ .ݔ (3.92) Подставляя выражения для первой и второй производных в гранич- ное условие (3.91), запишем: ൫ κ ଴ + 6ܿ ଷ ݔ р ൯ − κ ෤ ଴ ቂ1 + ൫ κ ଴ ݔ р + 3ܿ ଷ ݔ р ଶ ൯ ଶ ቃ ଷ/ଶ = 0. (3.93) Далее используем следующее геометрическое соотношение: ܮ ଴ = ݔ р + ܴ оп ⋅ sin ϕ . (3.94) Учтем геометрическое соотношение sin ϕ = tg ϕ ඥ1 + tg ଶ ϕ ⁄ (ϕ – угол наклона касательной функции прогиба в точке ݔ р ) и равенство tg ϕ = ݕ ′ ݔ( р ) = κ ଴ ݔ р + 3ܿ ଷ ݔ р ଶ . В результате вместо (3.94) получим выражение: ܮ ଴ − ݔ р − ܴ оп ൫ κ ଴ ݔ р + 3ܿ ଷ ݔ р ଶ ൯ ට1 + ൫ κ ଴ ݔ р + 3ܿ ଷ ݔ р ଶ ൯ ଶ = 0. (3.95) Здесь ܴ оп – радиус опорного валка. Система нелинейных уравнений (3.93), (3.95) относительно неизвест- ных ܿ ଷ и ݔ р решается численным методом на компьютере. Вместо системы уравнений (3.93), (3.95) можно получить одно нелинейное уравнение отно- сительно величины ݔ р . Воспользуемся равенством для второй производной в точке ݔ ୮ : κ ଴ + 6ܿ ଷ ݔ ୮ = κ ෤ ଴ (1 + tg ଶ ϕ ) ଷ/ଶ , откуда следует: ܿ ଷ ൫ ݔ р ൯ = κ ෤ ଴ [1 + tg ଶ ϕ ] ଷ/ଶ − κ ଴ 6 ݔ р . (3.96) Здесь учитываем, что tg ϕ = sin ϕ ඥ1 − sin ଶ ϕ ⁄ = ( ܮ ଴ − ݔ р ) ටܴ оп ଶ − ൫ ܮ ଴ − ݔ р ൯ ଶ ൗ , sin ϕ = ( ܮ ଴ − ݔ р ) ܴ оп ⁄ .