Процессы изготовления тонкостенных деталей пластическим деформированием

Н.М. БОДУНОВ, В.И. ХАЛИУЛИН, А.В. СОСОВ, А.А. РАЗДАЙБЕДИН Процессы изготовления тонкостенных деталей пластическим деформированием 266 Подставив безразмерные переменные ̄ݔ = ݔ ݔ н ⁄ ,  ̄ݕ = /ݕ κ ଴ ݔ н ଶ ,  κ̄ = κ / κ ଴ ,  Mሜ = M/M ଴ , ̄ݔ = ݔ/ݔ р ̄ݕ , = /ݕ κ ଴ ݔ р ଶ в выражения (3.81), (3.82), получим ̄ݕ ″ [1 + ( κ ଴ ݔ н ̄ݕ ′ ) ଶ ] ଷ/ଶ = κ̄ ܯ( ሜ ), ̄ݔ ∈ [0,1] ; (3.83) ̄ݕ ″ ൣ1 + ( κ ଴ ݔ р ̄ݕ ′ ) ଶ ൧ ଷ/ଶ = κ̄ ̄ݔ , ∈ [0,1] ; (3.84) (̄ݕ 0) = 0 , ̄ݕ ′ (0) = 0 , (3.85) где ܯ ሜ = 1 − ( κ ଴ ଶ ݔ н ଶ ̄ݕ н ′ ̄ݕ + ( )̄ݔ κ ଴ଶ ݔ н ଶ ̄ݕ н ′ ̄ݕ н + 1) ൗ ; κ̄ = (1 − κ ෤ ଴ κ ଴ ⁄ )൫1 − ( κ ଴ଶ ݔ р ଶ ̄ݕ р ′ ̄ݕ + ( )̄ݔ κ ଴ଶ ݔ р ଶ ̄ݕ р ′ ̄ݕ р + 1) ൗ ൯ + κ ෤ ଴ κ ଴ ⁄ ; ̄ݕ н ′ = ( ݕ ′ ))ݔ( ห ௫ୀ௫ н κ ଴ ݔ н ⁄ ; ̄ݕ р ′ = ( ݕ ′ ))ݔ( ห ௫ୀ௫ р κ ଴ ݔ р ൗ . Отметим, что из первого краевого условия (3.82) следует M ଴ = = (ܬܧ κ ଴ − κ ෤ ଴ ) , а второе условие выполняется автоматически. Уравнение (3.84) дополним краевыми условиями (3.85). Сведем уравнение (3.83) к системе нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка: ݖ ଵ ′ = ݖ ଶ , ݖ ଶ ′ = κ̄ ݖ ,̄ݔ( ଵ ݖ , ଷ ݖ , ସ )[1 + ( κ ଴ ݔ н ݖ ଶ ) ଶ ] ଷ/ଶ , ݖ ଷ ′ = 0 , ݖ ସ ′ = 0. (3.86) Здесь ݖ ଵ = )̄ݔ(̄ݕ ; ݖ ଶ = ̄ݕ ′ )̄ݔ( ; ݖ ଷ = ̄ݕ н ; ݖ ସ = ̄ݕ н ′ . Краевые условия (3.85) примут вид: ݖ ଵ (0) = 0; ݖ ଶ (0) = 0; ݖ ଵ (1) − ݖ ଷ (1) = 0; ݖ ଶ (1) − ݖ ସ (1) = 0. (3.87) Краевая задача (3.86), (3.87) решается с помощью конечно-разност- ного метода. В результате при известном значении ݔ н находим величины ݕ н и ϑ ଵ = arctg( κ ଴ ݔ н ̄ݕ н ′ ) . При этом краевое условие κ (M)| ௫ୀ଴ = κ ଴ выпол- няется автоматически. Решение краевой задачи (3.84), (3.85) сводится к решению системы уравнений: ݖ ଵ ′ = ݖ ଶ ; ݖ ଶ ′ = κ̄ ݖ ,̄ݔ( ଵ ݖ , ଷ ݖ , ସ ) ቂ1 + ൫ κ ଴ ݔ р ݖ ଶ ൯ ଶ ቃ ଷ/ଶ ; ݖ ଷ ′ = 0 , ݖ ସ ′ = 0 (3.88)