Процессы изготовления тонкостенных деталей пластическим деформированием

Н.М. БОДУНОВ, В.И. ХАЛИУЛИН, А.В. СОСОВ, А.А. РАЗДАЙБЕДИН Процессы изготовления тонкостенных деталей пластическим деформированием 162 то ݀ σ ௦∗ = 0, ݀݌ = ݀ σ ௫ и обобщенное уравнение равновесия принимает следующий вид: ݀(݌ − σ ௦∗ ) = ( σ ௦∗ ∓ /ݐ tgφ ௫ )(݀ ܪ ௫ ܪ/ ௫ ) . (2.82) По своему физическому смыслу уравнение (2.82) выражает прираще- ние давления p при перемещении некоторой точки вдоль дуги контакта. Входящие в уравнение переменные величины φ ௫ и ܪ ௫ являются координа- тами перемещаемой точки. Для упрощения решения примем допущение, что толщина полосы в пределах очага деформации изменяется не по дуге AB , а по ее хорде. В соответствии с этим угол наклона контактной поверх- ности φ ௫ становится постоянной величиной: tgφ ௫ = tg( α /2) . Силы трения определяются по закону Амонтона – Кулона: ݐ = ݂݌ , где ݂ – коэффициент трения. Тогда, интегрируя последнее уравнение равновесия, получим фор- мулы для подсчета давления ݌ ଵ = ݌ ଵ ( ℎ ) на участке отставания (рис. 2.71) и ݌ ଶ = ݌ ଶ ( ℎ ) на участке опережения ( h – текущая высота полосы). В ре- зультате имеем: ݌ ଵ ( ℎ ) = ( σ ௦∗ δ ଵ ⁄ )ൣ( ℎ ଴ ℎ ⁄ ) δ భ ( δ ଵ − 1) + 1൧;  ݌ ଶ ( ℎ ) = ( σ ௦∗ δ ଶ ⁄ )ൣ( ℎ ℎ ଵ ⁄ ) δ మ ( δ ଶ + 1) − 1൧ , (2.83) где δ ଵ = ݈ ௞ ݂ ( ℎ ଴ − ℎ ௞ ) ⁄ ;  δ ଶ = (݈ − ݈ ௞ )݂ ( ℎ ௞ − ℎ ଵ ) ⁄ . Из простых геометриче- ских соображений (рис. 2.71) имеем ݈ = ඥ2ܴ( ℎ ଴ − ℎ ଵ ); ݈ − ݈ ௞ = ඥ2ܴ( ℎ ௞ − ℎ ଵ );  ݈ ௞ = ൫ඥ( ℎ ଴ − ℎ ଵ ) − ඥ( ℎ ௞ − ℎ ଵ )൯ඥ2ܴ, (2.84) где ܴ – радиус валков. Предположив, что давление в очаге деформации не может изменяться скачком, т. е. используя условие непрерывности ݌ ଵ ( ℎ ௞ ) = ݌ ଶ ( ℎ ௞ ) , можно отыскать высоту критического сечения ℎ ௞ и его положение ݈ ௞ . Задача формулируется следующим образом: найти такое значение ℎ ௞ = ℎ ௞∗ , ℎ ଵ ≤ ℎ ௞ ≤ ℎ ଴ , которое бы обращало уравнение ݌ ଵ ( ℎ ௞ ) = ݌ ଶ ( ℎ ௞ ) в тожде- ство. При этом, как следует из приведенных формул, будет найдено соот- ветствующее данному значению давление ݌ ଵ ( ℎ ௞∗ ) = ݌ ଶ ( ℎ ௞∗ ) , а также коор- дината x критического сечения ݈ ௞ . Для отыскания ℎ ௞∗ необходимо задать значения ݂,  ܪ ଴ ܪ , ଵ , ܴ и σ ௦ . Поскольку известны границы, в которых лежит