Процессы изготовления тонкостенных деталей пластическим деформированием

Глава 2. Основы теории изготовления деталей пластическим деформированием 161 необходимости преодоления сопротивления деформации и напряжений трения возникает давление металла на валок, которое на участке отстава- ния (0 ≤  ݔ < ݈ ௞ ) возрастает, а на участке опережения (݈ ௞ < ݔ ≤ ݈) убы- вает. В сечении ݔ  = ݈ ௞ давление максимально. Рис. 2.70. Схема к выводу дифференциального уравнения равновесия Рис. 2.71. К определению критического сечения при прокатке Рассмотрим условие равновесия бесконечно малого элемента длиной ݀ ݔ в зоне отставания (рис. 2.71). Суммируя все действующие на выделен- ный элемент продольные силы, запишем условие его равновесия (прини- маем направление прокатки за положительное): ෍ܺ = (σ ௫ + ݀ σ ௫ ܪ() ௫ + ݀ ܪ ௫ )ܾ − σ ௫ ܪ ௫ ܾ − − 2݌ܾtgφ ௫ ݀ ݔ + 2 ݐ ܾ݀ ݔ = 0. (2.81) Подставляя в уравнение (2.81) значение ݀ ݔ = ݀ ܪ ௫ /2tgφ ௫ и прене- брегая бесконечно малыми величинами второго порядка, после преоб- разований получим ݀σ ௫ − (݌ − σ ௫ )(݀ ܪ ௫ ܪ/ ௫ ) ± (τ/tgφ ௫ )(݀ ܪ ௫ ܪ/ ௫ ) = 0, где знак плюс относится к зоне отставания, а минус – к зоне опережения. Воспользуемся уравнением пластичности в главных осях в упрощенной форме: σ ଵ − σ ଷ = σ ௦∗ или ݌ − σ ௫ = σ ௦∗ , где σ ௦∗ = 1,15 σ ௦ – вынужденный предел текучести. Решая совместно уравнение равновесия и уравнение пластичности, получим уравнение равновесия в обобщенной форме: ݀(݌ − σ ௦∗ ) = ( σ ௦∗ ∓ /ݐ tgφ ௫ )(݀ ܪ ௫ ܪ/ ௫ ), где знак минус относится к зоне от- ставания, а плюс – к зоне опережения. Если предел текучести на протяже- нии очага деформации остается постоянным (или берется осредненным),