Процессы изготовления тонкостенных деталей пластическим деформированием

Глава 2. Основы теории изготовления деталей пластическим деформированием 149 с использованием, например, вариационных принципов. Это так называе- мый метод конформных отображений. Упрощение реологической модели деформируемой среды. 1. Условие несжимаемости. Это значит, что относительное измене- ние объема и скорость относительного его изменения равны нулю, коэф- фициент поперечной деформации – постоянная величина, равен ߥ = 1/2 , при этом соотношение между модулями упругости упрощается: ܧ = 3 ܩ , а объемный модуль упругости К → ∞ . 2. Пренебрежение упругими деформациями . При больших деформа- циях, которые имеют место в процессах ОМД, имеем ε ௜௝௘ << ε ௜௝௣ . Тогда можно принять, что ε ௜௝ = ε ௜௝௣ и ξ ௜௝ = ξ ௜௝௣ . 3. Идеальная пластичность . Часто при решении задач принимают простейшую реологическую модель – жесткопластическую среду Губера – Мизеса, несжимаемую и не имеющую упругой деформации. Она не обладает ни деформационным, ни скоростным упрочнением, так что σ ௦ = σ т = const . Эта реологическая модель является довольно грубым при- ближением действительной картины развитой пластической деформации материалов. Однако простота условия пластичности и хорошо разработан- ная математическая теория решения конкретных задач (например, метод линий скольжения и характеристик) делают допущение об идеальной пла- стичности деформируемых материалов вполне оправданным. Важно подчеркнуть, что если для решения задачи использовать урав- нения (2.66)  (2.68) или (2.71)  (2.73) и модель идеального жесткопласти- ческого материала, то условие пластичности Губера – Мизеса σ ௜ = σ ௦ все- гда удовлетворяется тождественно, и в определении главных напряжений нет никакой необходимости. Это можно проверить, проделав следующие выкладки. Подставив уравнения (2.72) (предварительно преобразовав их ξ ௫ = ଷ ξ ೔ ଶ σ ೔ ( σ ௫ − σ ଴ );  ξ ௬ = ଷ ξ ೔ ଶ σ ೔ ( σ ௬ − σ ଴ ) и т. д.) в выражение для ξ ௜ , получим ξ ௜ = √ଶ ଷ ටቀ ଷ ξ ೔ ଶ σ ೔ ቁ ଶ ൣ( σ ௫ − σ ௬ ) ଶ + ( σ ௬ − σ ௭ ) ଶ + ( σ ௭ − σ ௫ ) ଶ + 6( τ ௫௬ଶ + τ ௬௭ଶ + τ ௭௫ଶ )൧ , откуда после сокращения ξ ௜ и переноса σ ௜ в левую часть придем к выраже- нию σ ௜ = σ ௦ . Поэтому модель идеальной пластичности допускает возмож- ность простой замены в уравнениях (2.68) или (2.73) обозначения σ ௜ на σ ௦ .