Процессы изготовления тонкостенных деталей пластическим деформированием

Глава 2. Основы теории изготовления деталей пластическим деформированием 145 и времени t , а на другой части – вектор поверхностных напряжений σ ሬ⃗ ௡ , как известную функцию точки границы М и времени t : ݑ ሬ⃗| ௌ భ = ݂⃗ ଵ (M, )ݐ или ݒ ⃗| ௌ భ = ϕ ሬ⃗ ଵ (M, ,)ݐ M ∈ ܵ ଵ ; σሬ⃗ ௡ | ௌ మ = ݂⃗ ଶ (M, ,)ݐ M ∈ ܵ ଶ . (2.78) Как правило, смешанные граничные условия задаются в зонах кон- тактного трения инструмента и заготовки. Математическая формулировка смешанных граничных условий может, например, иметь вид: ݑ ௫ = ݂ ଵ )ݐ ,ܯ( или ݒ ௫ = ݂ ଵ (M, )ݐ , (2.79) τ ௬௫ ݈ + σ ௬ ݉ + τ ௬௭ ݊ = ݂ ଶ (M, )ݐ ; τ ௭௫ ݈ + τ ௭௬ ݉ + σ ௭ ݊ = ݂ ଷ (M, )ݐ , где ݈, ݉ и ݊ – направляющие косинусы. В условиях (2.79) задан компонент перемещений (или скорости) в направлении оси х , в двух других направле- ниях заданы значения напряжений. Рассмотрим граничные условия на примере внешнего контактного трения. Рассмотрим элементарную площадку, расположенную на контакт- ной поверхности с нормалью ݊ሬ⃗ (рис. 2.63). Рис. 2.63. Нормальные и касательные напряжения на контактной поверхности Вектор поверхностных напряжений σ ሬ⃗ ௡ , действующий на площадке, представим в виде суммы двух векторов, вектора нормального давления ݌⃗ и вектора напряжения трения τ ⃗ : σ ሬ⃗ ௡ = ݌⃗ + τ ⃗ . Вектор ݌⃗ направлен по внут- ренней нормальной к поверхности, его модуль p равен нормальной силе, действующей на единицу площади. Вектор τ ⃗ лежит в плоскости, касатель- ной к поверхности, и направлен в сторону, противоположную вектору скольжения частиц металла относительно инструмента. Пусть ݒ ⃗ – касательная проекция скорости частицы; ݒ ⃗ ଵ – касатель- ная проекция скорости инструмента на рассматриваемой площадке;