Процессы изготовления тонкостенных деталей пластическим деформированием

Глава 2. Основы теории изготовления деталей пластическим деформированием 143 Система дифференциальных уравнений краевой задачи пластиче- ского деформирования в скоростях в общем случае имеет вид:  уравнения движения: ߲σ ௫ ߲ ݔ + ߲τ ௫௬ ߲ ݕ + ߲τ ௫௭ ߲ ݖ + ݂ ௫ = ρ ݀ ݒ ௫ ݀ , ݐ ߲τ ௬௫ ߲ ݔ + ߲σ ௬ ߲ ݕ + ߲τ ௬௭ ߲ ݖ + ݂ ௬ = ρ ݀ ݒ ௬ ݀ , ݐ ߲τ ௭௫ ߲ ݔ + ߲τ ௭௬ ߲ ݕ + ߲σ ௭ ߲ ݖ + ݂ ௭ = ρ ݀ ݒ ௭ ݀ ; ݐ (2.72)  система уравнений Леви – Мизеса, связывающая напряжения и скорости деформаций: σ ௫ = σ ଴ + 2 σ ௜ 3 ξ ௜ ξ ௫ ,  σ ௬ = σ ଴ + 2 σ ௜ 3 ξ ௜ ξ ௬ ,  σ ௭ = σ ଴ + 2 σ ௜ 3 ξ ௜ ξ ௭ , (2.73) τ ௫௬ = σ ௜ 3 ξ ௜ η ௫௬ ,  τ ௬௭ = σ ௜ 3 ξ ௜ η ௬௭ ,  τ ௭௫ = σ ௜ 3 ξ ௜ η ௭௫ ;  кинематические условия, связывающие скорости деформаций со скоростями перемещений: ξ ௫ = ߲ ݒ ௫ ߲  , ݔ ξ ௬ = ߲ ݒ ௬ ߲  , ݕ ξ ௭ = ߲ ݒ ௭ ߲ ; ݖ η ௫௬ = ߲ ݒ ௫ ߲ ݕ + ߲ ݒ ௬ ߲  , ݔ η ௬௭ = ߲ ݒ ௭ ߲ ݕ + ߲ ݒ ௬ ߲  , ݖ η ௭௫ = ߲ ݒ ௫ ߲ ݖ + ߲ ݒ ௭ ߲ . ݔ (2.74) В этих уравнениях σ ௜ = ଵ √ଶ ඥ( σ ௫ − σ ௬ ) ଶ + ( σ ௬ − σ ௭ ) ଶ + ( σ ௭ − σ ௫ ) ଶ + 6( τ ௫௬ଶ + τ ௬௭ଶ + τ ௭௫ଶ ) , ξ ୧ = √ଶ ଷ ට( ξ ୶ - ξ ୷ ) ଶ + ( ξ ୷ - ξ ୸ ) ଶ + ( ξ ୸ - ξ ୶ ) ଶ + ଷ ଶ ( η ୶୷ଶ + η ୷୸ଶ + η ୸୶ଶ ) и также учтено условие несжимаемости ξ ௫ + ξ ௬ + ξ ௭ = 0 . Система дифференциальных уравнений независимо от вида поста- новки должна быть дополнена краевыми условиями, которые состоят из начальных и граничных условий.