Процессы изготовления тонкостенных деталей пластическим деформированием

Глава 2. Основы теории изготовления деталей пластическим деформированием 117 Аппроксимация экспериментальных данных методом наимень- ших квадратов. Особенность указанных аппроксимаций кривых упрочне- ний заключается в том, что они точно совпадают с экспериментальными данными только в нескольких точках (для степенной – в двух, для показа- тельной – в трех или в четырех). С помощью метода наименьших квадратов (МНК) можно построить кривые упрочнения по экспериментальным точ- кам для всего требуемого диапазона деформаций. Рассмотрим аппроксимацию экспериментальных данных форму- лой (2.57). Исходными данными являются: ( ε ௜ , σ ௦௜ ) ௜ୀଵ௠ , где m – количество экспериментальных точек. Прологарифмировав левую и правую части вы- ражения (2.57), получим ln σ = ln ܭ + ݊ ln ε . Вводя новые переменные ݕ = ln σ ݔ , = ln ε , ܾ ଴ = ln , ܭ ܾ ଵ = ݊ , запишем ݕ = ܾ ଴ + ܾ ݔ , т. е. пришли к задаче линейного регрессионного анализа. Задачу МНК аналитически можно выразить следующим образом: ܷ = ∑ [ ݕ ௜ − (ܾ ଴ + ܾ ଵ ݔ ௜ )] ଶ → min ௠௜ୀଵ . Значения коэффициентов ܾ ଴ и ܾ ଵ найдем из условий, минимизирующих невязку U : ߲ܷ ߲ܾ ଴ ⁄ = 0, ߲ܷ ߲ܾ ଵ ⁄ = 0. Из решения системы ܾ ଴ ݉ + ܾ ଵ ∑ ݔ ௜ = = ∑ ݕ ௜ , ܾ ଴ ∑ ݔ ௜ + ܾ ଵ ∑ ݔ ௜ ଶ = ∑( ݕ ௜ ݔ ௜ ) (для краткости у знака суммы опущены индексы) получим: ܾ ଴ = ∑ ݕ ∑ ݔ ଶ − ∑ ݕݔ ∑ ݔ ݉∑ ݔ ଶ − (∑ )ݔ ଶ , ܾ ଵ = ݉∑ ݕݔ − ∑ ݔ ∑ ݕ ݉∑ ݔ ଶ − (∑ )ݔ ଶ . Далее, обратным преобразованием вычислим константы упрочнения ܭ = ݁ ௕ భ ; ݊ = ܾ ଵ . Оптимизация параметров линейной аппроксимации зависимо- сти ો − ઽ в пластической области деформаций. Цель – получить c по- мощью МНК линейную зависимость σ − ε, сравнимую по точности в пла- стическом диапазоне деформаций со степенной зависимостью (2.58), что позволит значительно упростить в дальнейшем расчеты параметров про- цессов формообразования деталей при высокой точности. Для решения по- ставленной задачи представим зависимость σ − ε в виде σ = ܧ ε при 0 ≤ ε ≤ ε λ ; (2.62) σ = [ܧ ε − λ ( ε − ε λ )], 0 ≤ λ ≤ 1 или σ = σ ଴ λ + ܧ м ε при ε λ ≤ ε ≤ ε м , где σ ଴ λ = ܧ λε λ – условное напряжение в точке ε = 0 ; ܧ м = (ܧ 1 − λ ) – мо- дуль линейного упрочнения; ε м – максимальная деформация.