Основы проектирования измерительных приборов и измерительно - вычислительных систем

75 Кривые изменения плотности вероятностей f ( ∆ x ) при различных значениях σ ∆ x = σ i см . на рис . 2.3. Из графиков на рис . 2.3 видно , что при малых значениях σ i вероятнее получить малую погрешность измерений , чем большую . Вероятность того , что погрешность измерения находится между заданными значениями ∆ x 1 и ∆ x 2 , вычисляется по формуле : ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 2 2 1 exp . 2 2 x x x x x x x P x x x f x d x d x ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆   ∆ ∆ < ∆ < ∆ = ∆ ∆ = − ∆   σ πσ   ∫ ∫ (2.23) Интеграл в формуле (2.23) можно вычислить , используя таблицы функции Лапласа [9]: 2 2 0 2 Ф ( ) , 2 t z z e dt − = π ∫ (2.24) где , . x x x t z k ∆ ∆ ∆= = σ σ Тогда величина 1 2 ( ) P x x x ∆ < ∆ < ∆ определяется соотношением ( ) 2 1 1 2 1 Ф Ф . 2 x x x x P x x x ∆ ∆       ∆ ∆ ∆ < ∆ < ∆ = −       σ σ       (2.25) В табл . 2.1 приведены значения вероятностей для интервалов [ ∆ x 1 ; ∆ x 2 ], заданных в единицах x ∆ σ [9]. Таблица 2.1 Интервал [ ∆ x 1 ; ∆ x 2 ] Вероятность P попадания погрешности в интервал [ ∆ x 1 ; ∆ x 2 ] 1 – P [–2/3 σ ∆ x + 2/3 σ ∆ x ] [– σ ∆ x + σ ∆ x ] [–2 σ ∆ x + 2 σ ∆ x ] [–3 σ ∆ x + 3 σ ∆ x ] [–4 σ ∆ x + 4 σ ∆ x ] 0,5 0,68 0,95 0,997 0,9993 0,5 0,32 0,05 0,003 0,00007 Значение погрешности , равной 2/3 σ ∆ x называют вероятной по - грешностью , а значение 3 σ ∆ x часто считают наибольшей возможной ( пре - дельной ) погрешностью . Однако при большом числе измерений ( n > 20 ÷ 30) максимальная погрешность нередко может превышать 3 σ ∆ x . Как уже отмечалось , часто закон распределения погрешностей мож - но принимать равномерным :