Основы проектирования измерительных приборов и измерительно - вычислительных систем

74 При уменьшении интервала τ до нуля корреляционная функция увеличивается до значения , совпадающего с дисперсией : K ∆ x ( τ )| τ→ 0 → D [ ∆ x ( t )]. (2.20) Свойство эргодичности стационарных случайных погрешностей позволяет определить математическое ожидание , дисперсию и корреля - ционную функцию по ограниченному числу реализаций или по одной реализации путем осреднения погрешностей и их характеристик на дос - таточно большом периоде времени Т . Для этого используются следующие выражения : [ ] ( ) ( ) 0 2 2 2 0 0 1 ( ) lim ( ) ; 1 lim ( ) ; 1 ( ) lim ( ) ( ) , T x T T x x T T x T m M x t xf x d x x t dt T D x f x d x x t dt T K x t x t dt T ∞ ∆ →∞ −∞ ∞ ∆ ∆ →∞ −∞ ∆ →∞ = ∆ = ∆ ∆ ∆ ≈ ∆ = σ = ∆ ∆ ∆ ≈ ∆ τ = ∆ ∆ + τ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (2.21) где ∆ x ( t ) – реализация случайной погрешности . При анализе случайных погрешностей чаще всего в практике ин - женерных расчетов используют нормальную и равномерную плотности распределения вероятностей . Если выполнится предположение о том , что погрешности измере - ния могут принимать непрерывный ряд значений , то при большом числе измерений частота появления погрешностей , равных по абсолютной ве - личине , но различного знака , – одинакова и малые погрешности встреча - ются чаще , чем большие . Поэтому для описания случайных погрешностей следует применять нормальный ( Гауссовский ) закон распределения веро - ятностей 2 2 2 1 ( ) , 2 x f x e ∆− σ ∆ = πσ (2.22) где f ( ∆ x ) – плотность вероятностей случайной погрешности ∆ х ; σ ∆ x – среднее квадратическое значение случайной погрешности .