Основы проектирования измерительных приборов и измерительно - вычислительных систем

158 Рассмотрим случайный процесс x ( t ) с нулевым математическим ожиданием ( m x = 0). Умножив правые и левые части уравнения (4.69) на ( ) ( ) ( ) y t h x t d ∞ −∞ + τ = η − η η ∫ и применив операцию математического ожи - дания , получим : [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . y K M y t y t M h x t d h x t d ∞ ∞ −∞ −∞   τ = − τ = ξ − ξ ξ η − η η       ∫ ∫ (4.71) На основе коммутативности операций математического ожидания и интегрирования можно записать : [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y K h h M x t x t d d ∞ ∞ −∞ −∞ τ = ξ η − ξ + τ − η η ξ ∫ ∫ или ( ) 1 2 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) . y x K h h K d d ∞ ∞ −∞ −∞ τ = τ τ τ + τ − τ τ τ ∫ ∫ (4.72) Полученное уравнение связывает автокорреляционные функции сигналов на входе и выходе измерительного устройства или системы . Если воспользоваться преобразованием Фурье , то можно устано - вить связь между спектральными плотностями мощности сигналов на входе и выходе : ( ) ( ) ( ) ( ) . j y x S h h K e d d d ∞ ∞ ∞ − ωτ −∞ −∞ −∞ ω = ξ η τ + η− ξ τ η ξ ∫ ∫ ∫ Введя новую переменную V = τ + η – ξ , получим : ( ) ( ) ( ) ( ) . j j j V y x S h e d h e d K V e dV ∞ ∞ ∞ − ωξ − ωη − ω −∞ −∞ −∞ ω = ξ ξ η η ∫ ∫ ∫ Используя соотношение вида ( ) ( ) ( ) ( ), y x S W j W j S ω = ω − ω ω получим : 2 ( ) ( ) ( ). y x S W j S ω = ω ω (4.73)