Основы проектирования измерительных приборов и измерительно - вычислительных систем

146 при описании дискретных сигналов вводится понятие дискретной сверт - ки , которая представляется совокупностью своих отсчетных значений : 1 1 1 0 0 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) . N N N m k m k k m k k k k f m f x k y m k x y y x N N N − − − − − = = = ∆ = = ∆ ∆ − ∆ = = ∑ ∑ ∑ (4.39) Если для сигналов x д ( t ) и y д ( t ) определены коэффициенты дискрет - ного преобразования Фурье C xn и C yn , то отсчетные значения дискретной свертки сигналов определяются как 2 2 1 1 0 0 ( ) , j mn j mn N N N N m xn yn fn k k f m f C C e C e π π − − = = ∆ = = = ∑ ∑ (4.40) т . е . коэффициенты ДПФ C fn свертки являются произведениями коэффи - циентов ДПФ свертываемых сигналов : , fn xn yn C C C = 0, 1. n N = − (4.41) Этот результат имеет большое значение в теории дискретных сиг - налов и цифровых фильтров . Если выборки сигналов достаточно длинны ( несколько тысяч элементов ), то для вычисления их свертки целесообраз - но вначале найти их ДПФ , перемножить коэффициенты , а затем восполь - зоваться формулой для определения отсчетных значений свертки . При анализе и синтезе дискретных и цифровых устройств широко используют так называемое z - преобразование , которое играет по отноше - нию к дискретным сигналам такую же роль , как интегральные преобразо - вания Лапласа и Фурье по отношению к непрерывным сигналам . Пусть известна числовая последовательность { x k } = ( x 0 , x 1 , …, x i , …) конечная или бесконечная , содержащая отсчетные значения некоторого дискретного сигнала x д ( t ). Поставим этой последовательности в одно - значное соответствие сумму ряда по отрицательным степеням комплекс - ной переменной z вида 1 2 0 1 2 0 ( ) ... . k k k X z x x z x z x z ∞ − − − = = + + + = ∑ (4.42) Если эта сумма существует ( ряд сходится ), то ее называют z - преоб - разованием числовой последовательности или отсчетных значений дис - кретных сигналов . Целесообразность введения такого математического преобразова - ния в том , что свойства дискретных последовательностей чисел ( дискрет -