Основы проектирования измерительных приборов и измерительно - вычислительных систем

144 Таблица 4.2 Дискретное преобразование Фурье Непрерывное преобразование Фурье 2 1 0 1 j nk N N n k k C x e N π − − = = ∑ 2 1 0 j nk N N k n k x C e π − = = ∑ ( ) ( ) j t x S x t e dt ∞ − ω −∞ ω = ∫ 1 ( ) ( ) 2 j t x x t S e d ∞ ω −∞ = ω ω π ∫ Как видно из формул (4.32) и (4.34), чтобы выполнить прямое или обратное дискретное преобразование Фурье последовательности из N элементов , требуется выполнить N операций с комплексными числами . Если длины обрабатываемых массивов имеют порядок 1000 или более , то использовать эти алгоритмы дискретного спектрального анализа в реаль - ном масштабе времени затруднительно из - за ограниченного быстродей - ствия вычислительных устройств . Ускорить преобразования дискретного сигнала позволяет алгоритм быстрого преобразования Фурье ( БПФ ), который был разработан в 60- х годах . Существенное сокращение числа выполняемых операций в алго - ритме БПФ удается за счет того , что обработка входного массива сводит - ся к нахождению ДПФ или ОДПФ массивов с меньшим числом членов . При реализации алгоритма БПФ предполагается , что число отсче - тов { x k } дискретного сигнала N = 2 P ( P – целое число ). Далее выполняют - ся следующие операции [17]: 1. Входная последовательность { x k } разбивается на две части с чет - ными и нечетными номерами : { x k } чт = { x 2 k }, { x k } нч = { x 2 k +1 }, k = 0,1, ..., 1 2 N − . 2. Определяется n - й коэффициент ДПФ в виде 1 4 2 (2 1) 2 2 2 1 0 1 1 4 2 4 2 2 /2 /2 чч нн 0 0 1 1 , N j nk j n k N N n k k k N N j nk j n j nk N N N k k k k C x e x e N x e e x e N − π π + − − + = − − π π π − − − = =   = + =          = +       ∑ ∑ ∑ (4.35) где { x k чт } и { x k нч } – это k - й четный и нечетный члены последователь - ности { x k }.